Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 12

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}D}$ einekommutative Gruppeund ${\displaystyle {}A}$ eine${\displaystyle {}D}$-graduiertekommutative${\displaystyle {}K}$-Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid${\displaystyle {}M\subseteq D}$ der${\displaystyle {}K}$-Vektorraum

${\displaystyle \oplus _{d\in M}A_{d}}$

einUnterringvon ${\displaystyle {}A}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}D}$ einekommutative Gruppeund ${\displaystyle {}A}$ eine${\displaystyle {}D}$-graduiertekommutative${\displaystyle {}K}$-Algebra, die einIntegritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge

${\displaystyle M={\left\{d\in D\mid A_{d}\neq 0\right\}}}$

ein Untermonoidvon ${\displaystyle {}D}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einkommutativer Ring,${\displaystyle {}D}$ einekommutative Gruppeund${\displaystyle {}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}}$eine${\displaystyle {}D}$-graduierte${\displaystyle {}K}$-Algebra.Es sei ${\displaystyle {}f\in A}$ einehomogeneEinheitvom Grad ${\displaystyle {}d}$. Zeige, dass das inverse Element ${\displaystyle {}f^{-1}}$ homogen vom Grad ${\displaystyle {}-d}$ ist.

Wir betrachten die${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(10)}$-graduierte${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Algebra

${\displaystyle {}L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{10}-5\right)}=\mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {1}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {2}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {3}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus \cdots \oplus 5^{\frac {8}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {9}{10}}\cdot \mathbb {Q} \,.}$

1. Berechne das Inverse von

   ${\displaystyle 5^{\frac {1}{10}}.}$

2. Berechne

   ${\displaystyle {\left(5^{\frac {7}{10}}\right)}^{4}.}$

3. Berechne

   ${\displaystyle {\left({\frac {2}{7}}-{\frac {4}{3}}\cdot 5^{\frac {3}{10}}-5\cdot 5^{\frac {8}{10}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}+{\frac {5}{4}}\cdot 5^{\frac {5}{10}}+4\cdot 5^{\frac {7}{10}}-{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {9}{10}}\right)}.}$

4. Bestimme graduierte Unterringe von ${\displaystyle {}L}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper,${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppeund${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine${\displaystyle {}D}$-graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass zu einem Untermonoid ${\displaystyle {}M\subseteq D}$ der${\displaystyle {}K}$-Vektorraum

${\displaystyle \oplus _{d\in M}A_{d}}$

einUnterkörpervon ${\displaystyle {}A}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperder Charakteristik${\displaystyle {}\neq 2}$. Zeige, dass einequadratische Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L}$graduiertist.

Es sei${\displaystyle {}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$die dritte komplexe Einheitswurzel. Zeige, dass dieKörpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon ]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,}$

graduiertist.

Zeige, dass eine${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$-graduierte Körpererweiterungeinfachist.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine${\displaystyle {}D}$-graduierte Körpererweiterung,wobei ${\displaystyle {}D}$ nicht zyklischsei. Zeige, dass die Körpererweiterung nicht von einem homogenen Elementerzeugtwird.

Es seien ${\displaystyle {}p,q\in \mathbb {Z} }$ verschiedene Primzahlenund

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=L\,}$

die zugehörige Körpererweiterungvom Grad${\displaystyle {}4}$. Bestimme, ob die folgenden Elemente die ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Algebra${\displaystyle {}L}$ erzeugen oder nicht.

1. ${\displaystyle {}{\sqrt {p}}}$,
2. ${\displaystyle {}{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}}$,
3. ${\displaystyle {}{\sqrt {pq}}}$,
4. ${\displaystyle {}{\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}}$.

Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }]=L\,.}$

1. Bestimme das Minimalpolynomvon ${\displaystyle {}{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }}$.
2. Zeige, dass derGradder Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$gleich ${\displaystyle {}4}$ ist.
3. Finde einen echten Zwischenkörper

   ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset M\subset L\,.}$

4. Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ eine${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$-graduierte Körpererweiterungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.
5. Zeige, dass${\displaystyle {}L[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]}$eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)}$- graduierte Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist. Durch welche Untergruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)}$ wird ${\displaystyle {}L}$ beschrieben?

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine Gruppe, ${\displaystyle {}K}$ einKörper und ${\displaystyle {}D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)}$ dieCharaktergruppe zu ${\displaystyle {}D}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ ist eine kommutative Gruppe.
2. Bei einerdirekten Gruppenzerlegung${\displaystyle {}D=D_{1}\times D_{2}}$ ist ${\displaystyle {}(D_{1}\times D_{2})^{\vee }=D_{1}^{\vee }\times D_{2}^{\vee }}$.

Sei ${\displaystyle {}D}$ eine endlicheGruppe, ${\displaystyle {}K}$ einKörperund ${\displaystyle {}\chi \in D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)}$ einCharakter.Zeige, dass ${\displaystyle {}\chi (d)}$ für jedes ${\displaystyle {}d\in D}$ eineEinheitswurzelin ${\displaystyle {}K}$ ist.

Es seien${\displaystyle {}D_{1}}$ und ${\displaystyle {}D_{2}}$kommutative Gruppenund seien${\displaystyle {}D_{1}^{\vee }}$ und ${\displaystyle {}D_{2}^{\vee }}$die zugehörigenCharaktergruppenzu einemKörper ${\displaystyle {}K}$.

1. Zeige, dass zu einemGruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon D_{1}\longrightarrow D_{2}}$

   durch die Zuordnung ${\displaystyle {}\chi \mapsto \chi \circ \varphi }$ ein Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi ^{\vee }\colon D_{2}^{\vee }\longrightarrow D_{1}^{\vee }}$

   definiert wird.

2. Es sei ${\displaystyle {}D_{3}}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   ${\displaystyle \psi \colon D_{2}\longrightarrow D_{3}}$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   ${\displaystyle {}(\psi \circ \varphi )^{\vee }=\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee }\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}D}$ einekommutative Gruppeund ${\displaystyle {}K}$ einKörper.

a) Zeige, dass durch

${\displaystyle D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),}$

ein natürlicherGruppenhomomorphismus von ${\displaystyle {}D}$ in das Doppeldual ${\displaystyle {}(D^{\vee })^{\vee }}$ gegeben ist.

b) Es sei nun ${\displaystyle {}D}$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-teprimitive Einheitswurzel enthält, wobei ${\displaystyle {}m}$ derExponentvon ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) einIsomorphismusist.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppeund es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.Wir betrachten die Zuordnung

${\displaystyle E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}},}$

die einer Untergruppe von ${\displaystyle {}D}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

${\displaystyle D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),}$

ist ${\displaystyle {}\operatorname {ev} _{d}(E)\subseteq (E^{\perp })^{\perp }}$.

c) Es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-teprimitive Einheitswurzel enthält, wobei ${\displaystyle {}m}$ derExponentvon ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}\operatorname {ev} _{d}(E)=(E^{\perp })^{\perp }}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppemit demExponenten${\displaystyle {}m}$, und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper,der eineprimitive${\displaystyle {}m}$-te Einheitswurzelbesitzt. Zeige, dass die Zuordnungen

${\displaystyle E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}}}$

und

${\displaystyle H\longmapsto H^{\perp }={\left\{d\in D\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}\chi \in H\right\}}}$

(zwischen den Untergruppen von ${\displaystyle {}D}$ und den Untergruppen von ${\displaystyle {}D^{\vee }}$)zueinander inverssind.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppemit demExponenten${\displaystyle {}m}$, und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper,der eineprimitive${\displaystyle {}m}$-te Einheitswurzelbesitzt. Zeige, dass in der inAufgabe 12.17beschriebenen Korrespondenz zwischen den Untergruppen von ${\displaystyle {}D}$ und von ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ Durchschnitte von Untergruppen in die Summe von Untergruppen überführt werden. Es gilt also

${\displaystyle {}(E_{1}\cap E_{2})^{\perp }=E_{1}^{\perp }+E_{2}^{\perp }\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körperund sei${\displaystyle {}F\in K[X,Y]}$ ein homogenes Polynom.Zeige: ${\displaystyle {}F}$ zerfällt in Linearfaktoren.

Zeige, dass es im Polynomringin ${\displaystyle {}n}$ Variablen genau ${\displaystyle {}{\binom {d+n-1}{n-1}}}$ MonomevomGrad${\displaystyle {}d}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}D}$ einekommutative Gruppeund ${\displaystyle {}A}$ eine${\displaystyle {}D}$-graduierte${\displaystyle {}K}$-Algebra. Ein ${\displaystyle {}K}$-Automorphismus

${\displaystyle \varphi \colon A\longrightarrow A}$

heißt homogen, wenn für jedeshomogene Element${\displaystyle {}a\in A_{d}}$ gilt ${\displaystyle {}\varphi (a)\in A_{d}}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}D}$ einekommutative Gruppeund ${\displaystyle {}A}$ eine${\displaystyle {}D}$-graduiertekommutative${\displaystyle {}K}$-Algebra. Zeige, dass der inLemma 12.15zu einemCharakter ${\displaystyle {}\chi \in D^{\vee }}$ eingeführte Automorphismus

${\displaystyle \varphi _{\chi }\colon A\longrightarrow A}$

homogen ist.

Wir betrachten die${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$-graduierte Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]\,}$

und den durch${\displaystyle {}\chi (e_{1})=-1}$,${\displaystyle {}\chi (e_{2})=1}$,${\displaystyle {}\chi (e_{3})=-1}$,gegebenenCharakter.Bestimme

${\displaystyle \varphi _{\chi }{\left(3-2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {5}}+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {15}}-4{\sqrt {21}}+3{\sqrt {35}}-5{\sqrt {105}}\right)}.}$

Wir betrachten dieKörpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,}$

mit${\displaystyle {}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}}$gemäßBeispiel 12.9.Zeige, dass die Galoisgruppeisomorphzu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$ ist.

Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\mathrm {i} }]=L.}$

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$.

b) Beschreibe eine möglichst einfache ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$.

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Automorphismen von ${\displaystyle {}L}$.

e) Bestimme das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ die Menge der stetigen geraden Funktionenund ${\displaystyle {}U}$ die Menge der stetigenungeraden Funktionenvon ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Zeige, dass

${\displaystyle \operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )=G\oplus U}$

eine${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$-graduierte${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-Algebraist.

Bestimme die Galoisgruppedes fünften Kreisteilungskörpers

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta _{5}]\,}$

mit${\displaystyle {}\zeta _{5}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$.

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta _{5}]}$mit${\displaystyle {}\zeta _{5}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$nicht graduierbarist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}D}$ einekommutative Gruppeund ${\displaystyle {}A}$ eine${\displaystyle {}D}$-graduiertekommutative${\displaystyle {}K}$-Algebra. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon A\longrightarrow A}$

einhomogener Automorphismus.Zeige, dass es einen Charakter${\displaystyle {}\chi \in D^{\vee }}$ mit ${\displaystyle {}\varphi =\varphi _{\chi }}$ gibt, wobei ${\displaystyle {}\varphi _{\chi }}$ der gemäßLemma 12.15zu ${\displaystyle {}\chi }$ gehörige Automorphismus ist.

Betrachte die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]=L\,.}$

Zeige, dass einerseits ${\displaystyle {}1,{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {35}}}$ und andererseits${\displaystyle {}({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})^{i}}$, ${\displaystyle {}i=0,1,2,3}$,eine${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basisvon ${\displaystyle {}L}$ bildet. Berechne die Übergangsmatrizenfür diese Basen.

Es sei

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

einestetige Funktion.Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

   mit${\displaystyle {}f(z)=g(\vert {z}\vert )}$für alle${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

2. Für alle ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln${\displaystyle {}\zeta \in {\mathbb {C} }}$(alle${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$)ist${\displaystyle {}f(\zeta z)=f(z)}$für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppemit dem Exponenten ${\displaystyle {}m}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}K}$ besitzt eine ${\displaystyle {}m}$-teprimitive Einheitswurzel.
2. Zu jedem Primpotenzteiler ${\displaystyle {}p^{r}}$ von ${\displaystyle {}m}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}p^{r}}$-te primitive Einheitswurzel.
3. Zu jedem Teiler ${\displaystyle {}n}$ von ${\displaystyle {}m}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.
4. Zu jeder Ordnung${\displaystyle {}n}$ eines Elementes ${\displaystyle {}d\in D}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eineendlichekommutative Gruppe und ${\displaystyle {}E\subseteq D}$ eineUntergruppe.Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.

a) Zeige, dass derKern des natürlichenGruppenhomomorphismus

${\displaystyle \psi \colon D^{\vee }\longrightarrow E^{\vee },\,\chi \longmapsto \chi {|}_{E},}$

gleich ${\displaystyle {}E^{\perp }}$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-teprimitive Einheitswurzel besitzt, wobei ${\displaystyle {}m}$ derExponent von ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}\psi }$ surjektivist.