Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 11

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ derZerfällungskörperdes Polynoms ${\displaystyle {}X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}P=X^{2}+aX+b\in K[X]}$ ein quadratisches Polynom über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Welche Möglichkeiten gibt es für denZerfällungskörpervon ${\displaystyle {}P}$?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und seien${\displaystyle {}F_{1},\ldots ,F_{r}\in K[X]}$Polynome. Zeige, dass es eineendliche Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L}$derart gibt, dass diese Polynome in ${\displaystyle {}L[X]}$ in Linearfaktoren zerfallen.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein Polynom vom Grad${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}K\subseteq L}$der Zerfällungskörpervon ${\displaystyle {}F}$. Zeige, dass die Abschätzung

${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}L\leq n!\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}X^{n}-a\in \mathbb {Q} [X]}$ mit${\displaystyle {}n\geq 4}$gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörpervon ${\displaystyle {}X^{n}-a}$ maximal den Grad ${\displaystyle {}{\frac {n!}{2}}}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}q\in \mathbb {Q} }$ einerationale Zahlund es sei ${\displaystyle {}L}$ derZerfällungskörper von ${\displaystyle {}X^{3}-q}$. Welchen Grad besitzt ${\displaystyle {}L}$ (über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$)?Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.

Das Polynom${\displaystyle {}F=X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]}$istirreduzibel nachAufgabe 3.17und definiert daher eine Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,}$

vomGrad${\displaystyle {}3}$. Die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}L}$ sei mit ${\displaystyle {}\alpha }$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus ${\displaystyle {}L}$

${\displaystyle {}\beta =\alpha ^{2}-2\,}$

und

${\displaystyle {}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,}$

Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ und${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }}$derZerfällungskörperzu ${\displaystyle {}F}$. Zeige, dass die komplexe Konjugationden Körper ${\displaystyle {}L}$ in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ definiert.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eineeinfache Körpererweiterung ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring,der einen Körperder positiven Charakteristik${\displaystyle {}p>0}$enthalte(dabei ist ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl).Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},}$

ein Ringhomomorphismusist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring,der einen Körperder positiven Charakteristik${\displaystyle {}p>0}$enthalte. Zeige, dass die ${\displaystyle {}e}$-teHintereinanderschaltungdesFrobeniushomomorphismus

${\displaystyle F\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},}$

durch ${\displaystyle {}f\mapsto f^{q}}$ mit${\displaystyle {}q=p^{e}}$gegeben ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher KörperderCharakteristik${\displaystyle {}p}$. Zeige, dass der Frobeniushomomorphismusein Körperautomorphismusist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperder positivenCharakteristik${\displaystyle {}p}$. Sei${\displaystyle {}F\colon K\rightarrow K}$der Frobeniushomomorphismus.Zeige, dass genau die Elemente aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ invariant unter ${\displaystyle {}F}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ der Körpermit${\displaystyle {}q=p^{e}}$Elementen. Bestimme dieOrdnungdes Frobeniushomomorphismusin der Automorphismengruppevon ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahlund${\displaystyle {}q=p^{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq 2}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{n})}$ keinVektorraumüber ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ sein kann.

Bestimme dieformale Ableitung von

${\displaystyle 2X^{7}+X^{6}+2X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+2\in \mathbb {Z} /(3)[X].}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperder positiven Charakteristik${\displaystyle {}p>0}$.Bestimme die Menge der Polynome${\displaystyle {}F\in K[T]}$ mit formaler Ableitung${\displaystyle {}F'=0}$.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich ${\displaystyle {}2}$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}^{\times }}$ ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{q}}$ ist.

Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{9}-X\in \mathbb {Z} /(3)[X]}$ die Zerlegung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{9}-X&={\left(X^{3}-X\right)}{\left(X^{8}+X^{6}+X^{4}+X^{2}+1\right)}\\&=X(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}{\left(X^{2}+2X+1\right)}{\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\end{aligned}}}$

besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige, dass die Restklassenkörper

${\displaystyle \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+1\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+2X+1\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+2\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+2X+2\right)}}$

untereinanderisomorphsind.

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{8}}$ als einen Restklassenkörper von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]}$. Man gebe eine primitive Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{8}}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl. Es sei${\displaystyle {}q=p^{e}}$ und ${\displaystyle {}c\in {\mathbb {F} }_{q}}$ ein Nichtquadrat.

1. Zeige

   ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q^{2}}\cong {\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}\,.}$

2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

   ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{2}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{4}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{8}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{16}}\subseteq \ldots \,}$

   gibt.

3. Zeige, dass die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}}$ ein Quadrat ist.
4. Es sei nun${\displaystyle {}p=1\mod 4}$.Zeige, dass die Restklasse ${\displaystyle {}x}$ von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}}$ ein Nichtquadrat ist.
5. Es sei${\displaystyle {}p=1\mod 4}$und sei ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} /(p)}$ ein Nichtquadrat. Zeige, dass ${\displaystyle {}Y^{2^{n}}-a}$ für alle ${\displaystyle {}n\geq 1}$ irreduzibelist.

Finde ein primitives Element in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$ und in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(121)}$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}10}$ und ein Element der Ordnung ${\displaystyle {}11}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(121)}$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${\displaystyle {}10}$ und der Ordnung ${\displaystyle {}11}$ auch in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{121}}$?

Zeige, dass ein Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+aX+b}$ genau dann keine mehrfachen Nullstellen(und zwar auch nach keiner Körpererweiterung)besitzt, wenn die Diskriminante${\displaystyle {}4a^{3}+27b^{2}}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden ist.

Konstruiereendliche Körper mit ${\displaystyle {}64,81,121,125}$ und ${\displaystyle {}128}$ Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahlund ${\displaystyle {}e,d\in \mathbb {N} _{+}}$.Zeige: ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{d}}}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{e}}}$, wenn ${\displaystyle {}e}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}d}$ ist.

Sei ${\displaystyle {}q}$ eine echte Primzahlpotenz und ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q^{2}}}$ jedes Element aus ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ ein Quadrat ist.

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppeeines Körpersmit ${\displaystyle {}27}$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten ${\displaystyle {}F\mapsto F'}$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist ${\displaystyle {}0}$.
2. Die Ableitung ist${\displaystyle {}K}$-linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   ${\displaystyle {}(FG)'=FG'+F'G\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper. Ein Element ${\displaystyle {}a\in K}$ heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms ${\displaystyle {}P\in K[X]}$, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}P}$ das lineare Polynom ${\displaystyle {}X-a}$ mit einem Exponenten ${\displaystyle {}\geq 2}$ vorkommt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ und ${\displaystyle {}a\in K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}a}$ genau dann einemehrfache Nullstellevon ${\displaystyle {}F}$ ist, wenn${\displaystyle {}F'(a)=0}$ist, wobei ${\displaystyle {}F'}$ dieformale Ableitungvon ${\displaystyle {}F}$ bezeichnet.