Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesung 27
- Das Delische Problem
Wir kommen zur ersten Konsequenz von unserer systematischen Untersuchung der konstruierbaren Zahlen auf die klassischen Konstruktionsprobleme.
Korollar
Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.
Beweis
Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge und dem Volumen . Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. DasMinimalpolynomvon ist , da dieses offenbar annulliert und nachLemma 6.9irreduzibelist, da in keine dritte Wurzel aus existiert. NachKorollar 26.7ist nicht konstruierbar, da keine Zweierpotenz ist.
- Die Quadratur des Kreises
Satz
Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
Beweis
Wenn es ein Konstruktionsverfahren gäbe, so könnte man insbesondere den Einheitskreis mit dem Radius quadrieren, d.h. man könnte ein Quadrat mit der Seitenlänge mit Zirkel und Lineal konstruieren. Nach Korollar 26.6muss aber eine konstruierbare Zahl algebraischsein. Nachdem Satz von Lindemannist aber und damit auch transzendent.
Es gibt natürlich einige geometrische Methoden die Zahl zu erhalten, z.B. die Abrollmethode und die Schwimmbadmethode.
Beispiel
Die einfachste Art, die Zahl geometrisch zu konstruieren, ist die Abrollmethode, bei der man einen Kreis mit Durchmesser einmal exakt abrollt. Die zurückgeführte Entfernung ist genau der Kreisumfang, also .
Beispiel
Man kann die Zahl auch mit Hilfe von Schwimmbecken und einer idealen Flüssigkeit erhalten.
- Wir starten mit einem Einheitskreis,
- den wir als Grundfläche
- eines Schwimmbeckens der Höhe 1 nehmen.
- Das füllen wir randvoll mit Wasser auf.
- Wir nehmen ein zweites Schwimmbecken mit quadratischer Grundfläche und Höhe 4.
- Der Inhalt des ersten Schwimmbeckens wird
- in das zweite Schwimmbecken gegossen.
- Der Wasserstand im zweiten Schwimmbecken ist exakt .
- Einheitswurzeln
Die ist für jedes eine -te Einheitswurzel, und die ist für jedes gerade eine -te Einheitswurzel. Es gibt maximal -te Einheitswurzel, da das Polynom maximal Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe(mit und ist auch , usw.)der Einheitengruppe des Körpers. Nach einem Satz, den wir nicht bewiesen haben, ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die teilt.
Definition
Eine -teEinheitswurzelheißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.
Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn eine primitive -te Einheitswurzel ist, so sind genau die mit und teilerfremd zu die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau primitive Einheitswurzeln, wobei dieeulersche -Funktionbezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.
Lemma
Es sei.
Die Nullstellen des Polynoms über sind
In gilt die Faktorisierung
Beweis
Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über diekomplexe Exponentialfunktion. Es ist
Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms . Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
mitsofort durch betrachten des Quotientenfolgt, und daraus
Es gibt also explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus dereulerschen Formel.
- Kreisteilungskörper
Offenbar ist eine Nullstelle von . Daher kann man durch teilen und erhält, wie man schnell nachrechen kann,
Wegen ist daher der -te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von
Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber auf die Kreisteilungskörper über , die wir auch mit bezeichnen. Da in der oben explizit beschriebenen Weise über in Linearfaktoren zerfällt, kann man als Unterkörper von realisieren, und zwar ist der von allen -ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von . Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt, wofür wir den folgenden Begriff einführen.
Lemma
Es sei. Dann wird der -teKreisteilungskörperüber
von erzeugt.
Der -te Kreisteilungskörper ist also
Insbesondere ist jeder Kreisteilungskörper eineeinfache Körpererweiterungvon
Beweis
Es sei der -te Kreisteilungskörper über . Wegenist . Wegengehören auch alle anderen Einheitswurzeln zu , also ist.
Statt kann man auch jede andere -te primitive Einheitswurzel als Erzeuger nehmen. Das Minimalpolynom zu einem Erzeuger von heißt das -te Kreisteilungspolynom. Der Grad des -ten Kreisteilungspolynoms ist der Grad des -ten Kreisteilungskörpers über . Dieser Grad ist stets , was wir aber nicht beweisen werden.
Beispiel
Wir bestimmen einige Kreisteilungskörper für kleine . Beioder ist der Kreisteilungskörper gleich . Beiist
und der zweite Faktor zerfällt
Daher ist der dritte Kreisteilungskörper der vonerzeugte Körper, es ist alsoeinequadratische Körpererweiterungder rationalen Zahlen.
Beiist natürlich
Der vierte Kreisteilungskörper ist somit,also ebenfalls eine quadratische Körpererweiterung von .
Der Beweis der folgenden wichtigen Aussage beruht auf Überlegungen, die wir nicht entwickelt haben.
Lemma
Es sei eine Primzahl.
Dann ist der -teKreisteilungskörpergleich
Insbesondere besitzt der -te Kreisteilungskörper denGrad über .
Beweis
Der -teKreisteilungskörperwird nachLemma 27.10von erzeugt, er ist also isomorph zu , wobei dasMinimalpolynomvon bezeichnet. Als Einheitswurzel ist eine Nullstelle von und wegenist eine Nullstelle von . Das Polynom ist irreduzibel nachAufgabe *****und daher handelt es sich nachLemma 23.2 (2)um das Minimalpolynom von .
Beispiel
Der fünfte Kreisteilungskörper wird von der komplexen Zahl erzeugt. Er hat aufgrund vonLemma 27.8die Gestalt
wobei die Variable als (oder eine andere primitive Einheitswurzel)zu interpretieren ist. Seiund setze.Aus Symmetriegründen muss dies eine reelle Zahl sein. Es ist
Es ist also(die positive Wurzel)und somit haben wir eine Folge von quadratischen Körpererweiterungen
Satz 26.5,dass die fünften Einheitswurzeln konstruierbare Zahlen sind.