Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 8

Finde eine Darstellung der ${\displaystyle {}1}$ (im Sinne des Lemmas von Bezout) für die folgenden Zahlenpaare:${\displaystyle {}5}$ und ${\displaystyle {}7}$;${\displaystyle {}20}$ und ${\displaystyle {}27}$;${\displaystyle {}23}$ und ${\displaystyle {}157}$.

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen ${\displaystyle {}7}$- und einen ${\displaystyle {}10}$-Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${\displaystyle {}78}$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${\displaystyle {}126}$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${\displaystyle {}-123,55}$ und ${\displaystyle {}-49}$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${\displaystyle {}17}$ bzw. ${\displaystyle {}109}$. Welche Flöhe können sich treffen?

Es seien ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ natürliche Zahlen,deren Produkt ${\displaystyle {}ab}$ von einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ geteilt werde. Die Zahlen${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}a}$seienteilerfremd.Zeige, dass ${\displaystyle {}b}$ von ${\displaystyle {}n}$ geteilt wird.

Es seien ${\displaystyle {}r}$ und ${\displaystyle {}s}$ teilerfremde Zahlen.Zeige, dass jede Lösung ${\displaystyle {}(x,y)}$ der Gleichung

${\displaystyle {}rx+sy=0\,}$

die Gestalt${\displaystyle {}(x,y)=v(s,-r)}$mit einer eindeutig bestimmten Zahl ${\displaystyle {}v}$ besitzt.

Es seien${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}d}$teilerfremdeganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz ${\displaystyle {}a^{i}}$ mit${\displaystyle {}i\geq 1}$ gibt, deren Rest bei Division durch ${\displaystyle {}d}$ gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}p\neq 2,5}$ einePrimzahl.Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form(im Dezimalsystem)

${\displaystyle 111\ldots 111}$

gibt, die einVielfachesvon ${\displaystyle {}p}$ ist.

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich${\displaystyle {}R}$ zu beliebigen Elementen ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R}$ sowohl eingrößter gemeinsame Teilerals auch ein kleinstes gemeinsames Vielfachesexistieren.

Es seien ${\displaystyle {}a,b\in R}$ zwei irreduzible,nichtassoziierteElemente in einem Integritätsbereich.Zeige, dass${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$teilerfremdsind.

Betrachte den Unterring

${\displaystyle {}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.}$

Zeige, dass für die Elemente${\displaystyle {}X^{2}}$ und ${\displaystyle {}X^{3}}$keinkleinstes gemeinsames Vielfachesexistiert.

Betrachte den Unterring

${\displaystyle {}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.}$

Zeige, dass für die Elemente${\displaystyle {}X^{2}}$ und ${\displaystyle {}X^{3}}$eingrößter gemeinsamer Teilerexistiert, dieser aber nicht als Linearkombination daraus darstellbar ist.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe deseuklidischen Algorithmusden größten gemeinsamen Teilervon ${\displaystyle {}1071}$ und ${\displaystyle {}1029}$.

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}12733}$ und ${\displaystyle {}3983}$. Man gebe eine Darstellung des ${\displaystyle {}\operatorname {ggT} }$ von${\displaystyle {}12733}$ und ${\displaystyle {}3983}$an.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ mit Hilfe deseuklidischen Algorithmusden größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome${\displaystyle {}P=X^{3}+2X^{2}+5X+2}$ und ${\displaystyle {}Q=X^{2}+4X-3}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{3}[X]}$ mit Hilfe deseuklidischen Algorithmusden größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome${\displaystyle {}P=X^{3}+2X^{2}+X+2}$ und ${\displaystyle {}Q=2X^{2}+1}$.

Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ und der Polynomring in zwei Variablen ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ keine Hauptidealbereiche sind.

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl${\displaystyle {}n\geq 2}$eine Zerlegung in Primzahlenbesitzt.

Wir betrachten eine digitale Uhr, die ${\displaystyle {}24}$ Stunden, ${\displaystyle {}60}$ Minuten und ${\displaystyle {}60}$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer ${\displaystyle {}11}$ Stunden, ${\displaystyle {}11}$ Minuten und ${\displaystyle {}11}$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über ${\displaystyle {}77}$-, ${\displaystyle {}91}$- und ${\displaystyle {}143}$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einIntegritätsbereichund ${\displaystyle {}a\in R}$ ein Element. Zeige, dass ${\displaystyle {}a}$ genau dannirreduzibelist, wenn das Hauptideal${\displaystyle {}(a)}$ unter allen vom Einheitsidealverschiedenen Hauptidealen maximal ist.

Bestimme in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$ mit Hilfe deseuklidischen Algorithmusden größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome${\displaystyle {}X^{3}+(2-{\mathrm {i} })X^{2}+4}$ und ${\displaystyle {}(3-{\mathrm {i} })X^{2}+5X-3}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{5}[X]}$ mit Hilfe deseuklidischen Algorithmusden größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome${\displaystyle {}P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2}$ und ${\displaystyle {}Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein Unterring.Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.

1. Zu einem Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap S}$ ein Ideal(in ${\displaystyle {}S}$).
2. Zu einem Radikal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap S}$ ein Radikal.
3. Zu einem Primideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap S}$ ein Primideal.
4. Zu einem maximalen Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ist auch ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap S}$ ein maximales Ideal.