Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 6

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen ${\displaystyle {}25,30,36}$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Z} }$ aus

${\displaystyle a{|}b{\text{ und }}b{|}a}$

die Beziehung ${\displaystyle {}a=\pm b}$ folgt.

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${\displaystyle {}n}$ die Zahl ${\displaystyle {}25n^{2}-17}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}8}$ ist.

Zeige, dass eine natürliche Zahl${\displaystyle {}n}$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich ${\displaystyle {}0,2,4,6}$ oder ${\displaystyle {}8}$ ist.

Formuliere und beweise(bekannte)Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler ${\displaystyle {}k=2,3,5,9,11}$.

Betrachte im ${\displaystyle {}15}$er System mit den Ziffern ${\displaystyle {}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E}$ die Zahl

${\displaystyle EA09B4CA.}$

Ist diese Zahl durch ${\displaystyle {}7}$ teilbar?

Es seien ${\displaystyle {}a,b\geq 2}$ und sei ${\displaystyle {}n=ab}$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${\displaystyle {}X^{a}-1}$ und ${\displaystyle {}X^{b}-1}$ Teiler des Polynoms ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ sind.

b) Es sei ${\displaystyle {}a\neq b}$. Ist ${\displaystyle {}(X^{a}-1)(X^{b}-1)}$ stets ein Teiler von ${\displaystyle {}X^{n}-1}$?

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${\displaystyle {}2^{30}-1}$ an.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$ und seien ${\displaystyle {}F,G\in K[X]}$ zwei Polynome. Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eineKörpererweiterung.Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}G}$ in ${\displaystyle {}K[X]}$ genau dann ist, wenn ${\displaystyle {}F}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}G}$ in ${\displaystyle {}L[X]}$ ist.

Zeige, dass die Assoziiertheitin einem kommutativen Ringeine Äquivalenzrelationist.

Zeige, dass in einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. Sind ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ assoziiert,so gilt ${\displaystyle {}a|c}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}b|c}$.
2. Ist ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich,so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Zeige, dass die Primzahlen ${\displaystyle {}2,3,5}$ Primelementein ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ sind.

Zeige, dass imPolynomring${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ die Variable ${\displaystyle {}X}$ irreduzibelundprimist.

Zeige, dass imPolynomring${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ die linearen Polynome ${\displaystyle {}aX+b}$ (${\displaystyle {}a\neq 0}$)irreduzibelundprimist.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}F_{2}[X]}$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}2,3,4}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einIntegritätsbereichund ${\displaystyle {}r\in R}$ein Element, das keine Quadratwurzelin ${\displaystyle {}R}$ besitze. Zeige, dass das Polynom${\displaystyle {}X^{2}-r\in R[X]}$irreduzibelist.

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+2X^{2}-5}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ irreduzibelist.

Bestimme den größten gemeinsamen Teilerund das kleinste gemeinsame Vielfachevon${\displaystyle {}105}$ und ${\displaystyle {}150}$.

Es sei ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$ eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegativegrößte gemeinsame Teilerder ${\displaystyle {}a_{i}}$ mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation ${\displaystyle {}\geq }$ der größte gemeinsame Teiler ist.

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$:

1. Für jedes Element ${\displaystyle {}a}$ gilt ${\displaystyle {}1|a}$ und ${\displaystyle {}a|a}$.
2. Für jedes Element ${\displaystyle {}a}$ gilt ${\displaystyle {}a|0}$.
3. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}b|c}$, so gilt auch ${\displaystyle {}a|c}$.
4. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}c|d}$, so gilt auch ${\displaystyle {}ac|bd}$.
5. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$, so gilt auch ${\displaystyle {}ac|bc}$ für jedes ${\displaystyle {}c\in R}$.
6. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}a|c}$, so gilt auch ${\displaystyle {}a|rb+sc}$ für beliebige Elemente ${\displaystyle {}r,s\in R}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und sei ${\displaystyle {}R[X]}$ derPolynomringdarüber. Zeige, dass ein Polynom der Form ${\displaystyle {}X+c}$ einPrimelementist.

Betrachte den Unterring

${\displaystyle R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X].}$

Zeige, dass die Elemente${\displaystyle {}X^{2}}$ und ${\displaystyle {}X^{3}}$in ${\displaystyle {}R}$ irreduzibel,aber nichtprimsind.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}F_{3}[X]}$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}4}$.

Betrachte die Menge ${\displaystyle {}M}$, die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung(in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$)eine gerade Anzahl(mit Vielfachheiten gezählt)von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in ${\displaystyle {}M}$.