Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 17
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Es sei ein Integritätsbereich und ein Körper mit . Zeige, dass dann auch gilt.
Aufgabe
Es sei ein Ideal in einemkommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.
Aufgabe
Berechne in die folgenden Ausdrücke.
- Das Produkt
- Die Summe
- Das Inverse von
Aufgabe
Zeige die Gleichheit
als Funktion von nach .
Aufgabe
Skizziere die Graphender folgenden rationalen Funktionen
Aufgabe
Erstelle eine Wertetabelle für die rationale Funktion.
Aufgabe
Es sei
die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass auch von einem Element erzeugt wird. Von welchem?
Aufgabe
Es seien und sei
die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass von erzeugt wird.
Aufgabe
Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.
Aufgabe
Betrachte die rationalen Zahlen alskommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.
Aufgabe
Es sei eine Teilmenge derPrimzahlen.Zeige, dass die Menge
ein Unterringvon ist. Was ergibt sich bei , , , ?
Aufgabe
Aufgabe *
Es sei eine Primzahl. Man gebe einen Körper der Charakteristik an, der unendlich viele Elemente besitzt.
Die folgende Definition wird in den nächsten Aufgaben verwendet.
Einkommutativer Ringheißt angeordnet, wenn es einetotale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften
- Ausfolgtfür beliebige,
- Ausundfolgtfür beliebige,
erfüllt.
Die ganzen Zahlen bilden einen angeordneten Ring. Die Anordnung überträgt sich auf den Quotientenkörper, die rationalen Zahlen bilden also einen angeordneten Körper.
Aufgabe
Zeige, dass mit der durch(bei ),fallsin gilt, definierten Beziehung einangeordneter Körperist(dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf verwendet werden).
Aufgabe
Man gebe fünfrationale Zahlenan, die(echt)zwischen und liegen.
Aufgabe *
Person wird Jahre alt und Person wird Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.
- schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
- schläft jede Nacht Stunden und schläft jede Nacht Stunden.
Aufgabe *
Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?
Aufgabe *
Zwei Fahrradfahrer, und ,fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.
Wer fährt schneller?
Aufgabe
Man gebe die Antworten als Bruch(bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß):Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und sei
die von und erzeugte Untergruppe. Zeige, dass von erzeugt wird.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei einfaktorieller Bereich mitQuotientenkörper. Zeige, dass jedes Element, ,eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei einfaktorieller Bereich mitQuotientenkörper . Es sei ein Element mit für eine natürliche Zahl . Zeige, dass dann schon zu gehört.
Was bedeutet dies für ?
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nichtisomorphsind.
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