Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 15

Bestätigeden kleinen Fermatdirekt für die Primzahlen${\displaystyle {}p=2,3,5,7,11}$.

Bestimme die multiplikative Ordnungaller Einheitenim Restklassenkörper${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$.

Berechne ${\displaystyle {}3^{1457}}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(13)}$.

Finde einen Restklassenring${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ derart, dass dieEinheitengruppedavon nichtzyklischist.

Konstruiereendliche Körper mit ${\displaystyle {}4,8,9,16,25,27,32}$ und ${\displaystyle {}49}$ Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und sei ${\displaystyle {}f(x)}$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ vom Grad ${\displaystyle {}d\geq p}$. Zeige, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}g(x)}$ mit einem Grad ${\displaystyle {}<p}$ derart gibt, dass für alle Elemente ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} /(p)}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}f(a)=g(a)\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}f(x)=x^{7}+2x^{3}+3x+4\in (\mathbb {Z} /(5))[x]}$. Finde ein Polynom ${\displaystyle {}g(x)\in (\mathbb {Z} /(5))[x]}$ vom Grad ${\displaystyle {}<5}$, das für alle Elemente aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$ mit ${\displaystyle {}f(x)}$ übereinstimmt.

a) Zeige, dass durch

${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,}$

ein Körper mit ${\displaystyle {}343}$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${\displaystyle {}K}$ das Produkt ${\displaystyle {}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)}$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${\displaystyle {}T+1}$.

Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-2)}$ einKörperist und bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}4x^{2}-2x+5}$, wobei ${\displaystyle {}x}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ bezeichne.

Man gebe einenRestklassenring${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(d)}$ an, in dem es nichttrivialeidempotente Elementegibt.

Finde in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-1)}$ nichttrivialeidempotente Elemente.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}f\in R}$. Es sei ${\displaystyle {}f}$ sowohl nilpotentals auch idempotent.Zeige, dass ${\displaystyle {}f=0}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und sei ${\displaystyle {}R\times S}$ der Produktring${\displaystyle {}R\times S}$. Zeige, dass die Teilmenge ${\displaystyle {}R\times 0}$ ein Hauptidealist.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein faktorieller Bereich und ${\displaystyle {}p\in R}$ ein Primelement. Zeige, dass derRestklassenring${\displaystyle {}R/(p^{n})}$ nur die beiden trivialenidempotenten Elemente${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$besitzt.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}I,J}$ Ideale in ${\displaystyle {}R}$. Es sei weiter

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r+I,r+J).}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann surjektiv ist, wenn ${\displaystyle {}I+J=R}$ gilt. Wie sieht ${\displaystyle {}\ker \varphi }$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} }$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund seien ${\displaystyle {}I,J\subseteq R}$Ideale.Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

${\displaystyle \varphi \colon R/I\cap J\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r,r),}$

und

${\displaystyle \psi \colon R/I\times R/J\longrightarrow R/I+J,\,(s,t)\longmapsto s-t.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ injektivist, dass ${\displaystyle {}\psi }$ surjektivist und dass

${\displaystyle {}\operatorname {bild} \varphi =\operatorname {kern} \psi \,}$

ist. Sind${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}\psi }$Ringhomomorphismen?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es seien ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$ verschiedene Elemente und

${\displaystyle {}F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,}$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome.Zeige, dass derRestklassenring${\displaystyle {}K[X]/(F)}$isomorphzumProduktring${\displaystyle {}K^{n}}$ ist.

Das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-7X^{2}+3X-21}$ besitzt in ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$ die Zerlegung

${\displaystyle {}X^{3}-7X^{2}+3X-21=(X-7)(X^{2}+3)\,}$

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]/(X^{3}-7X^{2}+3X-21)\cong \mathbb {R} [X]/(X-7)\times \mathbb {R} [X]/(X^{2}+3)\,.}$

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${\displaystyle {}(1,0)}$ entspricht.

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${\displaystyle {}(0,1)}$ entspricht.

Schreibe den Restklassenring${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)}$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${\displaystyle {}X^{3}+X}$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Zeige, dass jeder echteRestklassenringvon ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$isomorphzu einem Produktringder Form

${\displaystyle {\mathbb {C} }\times \cdots \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})}$

ist.

Realisiere den Produktring

${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }}$

als einenRestklassenringvon ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$.

Es seien ${\displaystyle {}R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}}$kommutative Ringeund sei

${\displaystyle {}R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,}$

derProduktring.

1. Es seien

   ${\displaystyle I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}}$

   Ideale.Zeige, dass die Produktmenge

   ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

   ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq R}$ die Form

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,}$

   mit Idealen ${\displaystyle {}I_{j}\subseteq R_{j}}$ besitzt.

3. Sei

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,}$

   ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}I}$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche ${\displaystyle {}I_{j}}$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ genau dann einHauptidealringist, wenn alle ${\displaystyle {}R_{j}}$ Hauptidealringe sind.

Bestimme die multiplikative Ordnungaller Einheitenim Restklassenkörper${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.Beweise durch Induktion denkleinen Fermat,also die Aussage, dass ${\displaystyle {}a^{p}-a}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ für jede ganze Zahl ${\displaystyle {}a}$ ist.

Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)}$ einKörperist und bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}5x^{2}-x+7}$, wobei ${\displaystyle {}x}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ bezeichne.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund sei${\displaystyle {}e\in R}$einidempotentes Element.Zeige, dass auch ${\displaystyle {}1-e}$ idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“Restklassenabbildung

${\displaystyle R\longrightarrow R/(e)\times R/(1-e)}$

eine Bijektion ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.

Dann ist${\displaystyle {}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p}$.

Bestimme die Zerlegung von ${\displaystyle {}X^{p-1}-1}$ in irreduzible Polynomeim Polynomring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$. Beweise aus dieser Zerlegungden Satz von Wilson.