Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 1

Betrachte die ganzen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.}$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?

Man untersuche dieVerknüpfung

${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),}$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}S}$ eine Menge und

${\displaystyle {}M=\operatorname {Abb} \,{\left(S,S\right)}\,}$

sei versehen mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungenals Verknüpfung.Ist die Verknüpfungassoziativ,kommutativ,gibt es ein(eindeutiges)neutrales Element,für welche ${\displaystyle {}F\in M}$ gibt es ein inverses Element?

Es sei ${\displaystyle {}S}$ eine Menge und

${\displaystyle {}G={\left\{F:S\rightarrow S\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ mit der Hintereinanderschaltungvon AbbildungeneineGruppeist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und sei${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow M}$ eine Abbildung.Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau danninjektivist, wenn ${\displaystyle {}f}$ ein Linksinverses besitzt, und dass ${\displaystyle {}f}$ genau dannsurjektivist, wenn ${\displaystyle {}f}$ ein Rechtsinverses besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}(M,\circ ,e)}$ einMonoidund${\displaystyle {}x,y,a\in M}$.

a) Folgt aus ${\displaystyle {}x=y}$ die Beziehung ${\displaystyle {}a\circ x=a\circ y}$?

b) Folgt aus ${\displaystyle {}a\circ x=a\circ y}$ die Beziehung ${\displaystyle {}x=y}$?

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe. Zeige, dass

${\displaystyle {}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,}$

für alle ${\displaystyle {}x\in G}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppeund ${\displaystyle {}x,y\in G}$. Drücke das Inverse von ${\displaystyle {}xy}$ durch die Inversen von ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$ aus.

Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids ${\displaystyle {}M}$ und eines Elementes ${\displaystyle {}m\in M}$ derart, dass alle positiven Potenzen von ${\displaystyle {}m}$ vom neutralen Element verschieden sind.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein endliches Monoid.Es gelte die folgende „Kürzungsregel“: aus ${\displaystyle {}ax=ay}$ folgt ${\displaystyle {}x=y}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ eine Gruppeist.

Man konstruiere eineGruppemit drei Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppeund ${\displaystyle {}x\in G}$ ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung derLemma 1.6,dass für ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {Z} }$ gilt:

${\displaystyle {}x^{mn}={\left(x^{m}\right)}^{n}\,.}$

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ einer Gruppe${\displaystyle {}G}$ ist genau dann eineUntergruppe,wenn gilt:

${\displaystyle {\text{ für alle }}g,h\in H{\text{ ist }}gh^{-1}\in H.}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppeund ${\displaystyle {}H_{i}\subseteq G}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, eine Familie von Untergruppen.Zeige, dass der Durchschnitt

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}H_{i}}$

eine Untergruppe von ${\displaystyle {}G}$ ist.

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?

Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,}$

Zeige, dass auf ${\displaystyle {}M}$ durch

${\displaystyle a\oplus b:={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<1\,,\\a+b-1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}}$

eine wohldefinierteVerknüpfunggegeben ist.

Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,}$

mit der inAufgabe 1.17definierten Verknüpfung.

a) Berechne

${\displaystyle {\left({\left({\left({\left({\frac {4}{5}}\oplus {\frac {3}{4}}\right)}\oplus {\frac {2}{3}}\right)}\oplus {\frac {5}{7}}\right)}\oplus {\frac {1}{3}}\right)}.}$

b) Finde eine Lösung für die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {3}{5}}\oplus x={\frac {1}{2}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und betrachte auf

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)=\{0,1,\ldots ,n-1\}\,}$

die Verknüpfung

${\displaystyle a+b:=(a+b)\mod n={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<n\,,\\a+b-n,{\text{ falls }}a+b\geq n\,.\end{cases}}}$

Zeige, dass dadurch eine assoziativeVerknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppevorliegt.

Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,}$

mit der inAufgabe 1.17definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppeist.

Man untersuche dieVerknüpfung

${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {max} \,(x,y),}$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung.Es gebe ein linksneutrales Element ${\displaystyle {}e}$(d.h. ${\displaystyle {}ex=x}$ für alle ${\displaystyle {}x\in M}$)und zu jedem ${\displaystyle {}x\in M}$ gebe es ein Linksinverses, d.h. ein Element ${\displaystyle {}y}$ mit ${\displaystyle {}yx=e}$. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}M}$ schon eine Gruppe ist.

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels ${\displaystyle {}\alpha =360/12=30}$ Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?