Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 4

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}{\left(1/s\right)}=(\varphi (s))^{-1}}$für${\displaystyle {}s\in S}$und damit${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}{\left(a/s\right)}=\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}}$sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.

Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei${\displaystyle {}{\frac {a}{s}}={\frac {b}{t}}}$ mit${\displaystyle {}s,t\in S}$.Dies bedeutet, dass es ein${\displaystyle {}r\in S}$mit${\displaystyle {}rta=rsb}$ gibt. Dann ist auch

${\displaystyle {}\varphi (r)\varphi (t)\varphi (a)=\varphi (r)\varphi (s)\varphi (b)\,}$

und durch Multiplizieren mit der Einheit ${\displaystyle {}\varphi (r)^{-1}\varphi (t)^{-1}\varphi (s)^{-1}}$ folgt

${\displaystyle {}\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}=\varphi (b)(\varphi (t))^{-1}\,.}$

Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}+{\frac {b}{t}}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {at+bs}{st}}\right)}\\&=\varphi (at+bs)\varphi (st)^{-1}\\&=(\varphi (a)\varphi (t)+\varphi (s)\varphi (b))\varphi (s)^{-1}\varphi (t)^{-1}\\&=\varphi (a)\varphi (s)^{-1}+\varphi (b)\varphi (t)^{-1}\\&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}\right)}+{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {b}{t}}\right)}.\end{aligned}}}$

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung

${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.}$

Wir zeigen, dass das Komplement von ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ nur aus Einheiten besteht, so dass es sich um ein maximales Idealhandeln muss. Es sei also${\displaystyle {}q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}}$,aber nicht in ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$. Dann sind${\displaystyle {}f,g\notin {\mathfrak {p}}}$und somit gehört der inverse Bruch ${\displaystyle {}{\frac {g}{f}}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.

Die Inklusion ${\displaystyle {}\subseteq }$ ist klar. Es sei also${\displaystyle {}q\in Q(R)}$und sei angenommen, ${\displaystyle {}q}$ gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ ist also${\displaystyle {}q\in R_{\mathfrak {m}}\subset Q(R)}$, d.h. es gibt${\displaystyle {}f_{\mathfrak {m}}\notin {\mathfrak {m}}}$ und${\displaystyle {}a_{\mathfrak {m}}\in R}$mit${\displaystyle {}q={\frac {a_{\mathfrak {m}}}{f_{\mathfrak {m}}}}}$.Wir betrachten das Ideal

${\displaystyle (f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}).}$

Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorndas Einheitsidealsein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$ und${\displaystyle {}r_{i}\in R}$mit

${\displaystyle {}r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n}=1\,,}$

wobei${\displaystyle {}f_{i}=f_{{\mathfrak {m}}_{i}}}$gesetzt wurde. Damit ist

${\displaystyle {}q={\frac {a_{1}}{f_{1}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{f_{n}}}\,.}$

Wir schreiben

${\displaystyle {}q=q(r_{1}f_{1}+\cdots +r_{n}f_{n})=qr_{1}f_{1}+\cdots +qr_{n}f_{n}=a_{1}r_{1}+\cdots +a_{n}r_{n}\,.}$

Also gehört ${\displaystyle {}q}$ zu ${\displaystyle {}R}$.

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Q(R/{\mathfrak {p}})&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \psi \!\!\!\!\!&&\\R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

von Ringhomomorphismen, wobei${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}\psi }$zu konstruieren sind. Unter dem Ringhomomorphismus

${\displaystyle R\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$

wird das Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet, der Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$ ergibt sich als induzierter Homomorphismus. Unter ${\displaystyle {}\varphi }$ werden Elemente${\displaystyle {}[r]\in R/{\mathfrak {p}}}$,${\displaystyle {}[r]\neq 0}$,die also durch${\displaystyle {}r\notin {\mathfrak {p}}}$repräsentiert werden, auf Einheiten abgebildet. Somit gibt es nachLemma 4.11eine Fortsetzung auf den Quotientenkörper

${\displaystyle \psi \colon Q(R/{\mathfrak {p}})\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$

Diese ist als Ringhomomorphismus zwischen Körpern injektiv. Ein Element des Restekörpers, das in der Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ durch ${\displaystyle {}r/s}$ mit${\displaystyle {}s\notin {\mathfrak {p}}}$repräsentiert wird, wird unter ${\displaystyle {}\psi }$ durch das Element ${\displaystyle {}[r]/[s]}$ getroffen(beachte${\displaystyle {}[s]\neq 0}$).