Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 22

Das Zerlegungsverhalten bei Galoiserweiterungen

Es sei ${}R$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche GaloiserweiterungvomGrad ${}n$ . DieGaloisgruppe,d.h. die Gruppe der ${}K$ -Algebraautomorphismenvon ${}L$ , besteht also aus ${}n$ Automorphismen. Die Untergruppen der Galoisgruppe entsprechen nachdem Satz über die Galoiskorrespondenzden Zwischenkörpern der Erweiterung. Die Galoisgruppe operiert nachSatz 21.2auch auf dem ganzen Abschluss ${}S$ von ${}R$ in ${}L$ . Hier besprechen wir Untergruppen, ihre zugehörigen Zwischenkörper und Zwischenringe, die mit dem Zerlegungsverhalten von Primidealen unter der Erweiterung ${}R\subseteq S$ zusammenhängen. Zuerst formulieren wir, wie sich die fundamentale Gleichung ausSatz 20.4im Galoisfall vereinfacht.

Lemma

Es sei ${}R$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K$ , ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterungvom Grad ${}n$ und sei ${}S$ derganze Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ . Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein von ${}0$ verschiedenesPrimidealvon ${}R$ .

Dann stimmen in der Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$

die Exponenten ${}e_{i}$ überein und ebenso stimmen die Trägheitsgrade ${}f_{i}$ überein. Dabei ist

{}n=kef\,.

Beweis

Es seien ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {q}}'$ Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ . NachLemma 21.9gibt es einen Automorphismus ${}\sigma \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit ${}\sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$ .Daher gibt es einen ${}R_{\mathfrak {p}}$ -Algebraisomorphismus ${}\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\rightarrow S_{{\mathfrak {q}}'}$ ,weshalb die Verzweigungsordnungen gleich sind, und einen ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ -Isomorphismusder Restekörper

\kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}'),

weshalb die Trägheitsgrade gleich sind. Die Formel ausSatz 20.4nimmt daher die angegebene Gestalt an.

\Box

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal aus ${}R$ und seien ${}{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ die Primideale von ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ . GemäßLemma 21.9und wie eben verwendet lassen sich diese Primideale ineinander mit isomorphen Restekörpern überführen. Dies bedeutet natürlich nicht, dass der Gruppenhomomorphismus

G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,({\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k})

bijektiv ist, wobei rechts die Permutationsgruppe zur Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ steht. Dabei ist die Bijektivität oft schon wegen der Anzahl ausgeschlossen. Wenn der Grad ${}n$ ist, und wenn, imtotal zerlegtenFall, die Faser aus ${}n$ Primidealen besteht, so steht links(im Galoisfall)eine Gruppe mit ${}n$ Elementen und rechts eine Gruppe mit ${}n!$ Elementen, was nur bei ${}n\leq 2$ übereinstimmt. Wenn hingegen, imunzerlegtenFall, die Faser aus nur einem Primideal besteht, so steht rechts die triviale Gruppe. Ein Automorphismus ${}\sigma \in G$ gehört genau dann zum Kern, wenn jedes Primideal der Faser unter ${}\sigma$ auf sich selbst abgebildet wird. Diese Bedingung führt, auf ein einzelnes Primideal angewendet, zum Begriff der Zerlegungsgruppe.

Definition

Es sei ${}R$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ derganze Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ einPrimidealvon ${}S$ . Dann nennt man

{}G_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G\mid \sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}\right\}}\,

die Zerlegungsgruppe zu ${}{\mathfrak {q}}$ .

Man spricht auch von der Isotropiegruppe oder dem Stabilisator zu ${}{\mathfrak {q}}$ . Man beachte, dass die Bedingung besagt, dass ${}{\mathfrak {q}}$ auf sich selbst abgebildet wird, nicht, dass die Einschränkung auf ${}{\mathfrak {q}}$ die Identität ist.

Lemma

Es sei ${}R$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ derganze Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ einPrimidealvon ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$ . Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau dann trivial, wenn ${}{\mathfrak {p}}$ voll zerlegtist.
Die Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist genau gleich ${}G$ , wenn ${}{\mathfrak {p}}$ unzerlegtist.
Zu einem weiteren Primideal ${}{\mathfrak {q}}'$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ sind die Zerlegungsgruppen ${}G_{\mathfrak {q}}$ und ${}G_{{\mathfrak {q}}'}$ isomorph.
Es ist
${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=ef\,,$
wobei ${}e$ der gemeinsame Verzweigungsindexund ${}f$ der gemeinsameTrägheitsgradder Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ ist.

Beweis

(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).

(3). NachLemma 21.9gibt es ein ${}\tau \in G$ mit ${}\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$ .Mittels ${}\tau$ kann man direkt den Isomorphismus

G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow G_{{\mathfrak {q}}'},\,\sigma \longmapsto \tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1},

angeben. Es ist ja

{}{\left(\tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1}\right)}({\mathfrak {q}}')=\tau (\sigma (\tau ^{-1}({\mathfrak {q}}')))=\tau (\sigma ({\mathfrak {q}}))=\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\,.

(4). Wir zerlegen ${}G$ abhängig davon, auf welches Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ abgebildet wird, also

{}G=\biguplus _{{\mathfrak {q}}'}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}\,.

Dabei ist die Untergruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ein Teil davon und die anderen Teile sind dieNebenklassenzu dieser Untergruppe, da ja

{}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}=\tau G_{\mathfrak {q}}\,,

wenn ${}\tau$ ein fixierter Automorphismus ist, der ${}{\mathfrak {q}}$ in ${}{\mathfrak {q}}'$ überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es ${}k$ Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad ${}n$ hat und die Galoisgruppe somit ${}n$ Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe ${}{\frac {n}{k}}$ Elemente, was nachLemma 22.1mit ${}ef$ übereinstimmt.

\Box

Definition

Es sei ${}R$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ derganze Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ einPrimidealvon ${}S$ . Dann nennt man denFixkörperzurZerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ denZerlegungskörper zu ${}{\mathfrak {q}}$ . Er wird mit ${}Z_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.

DenGanzheitsringzum Zerlegungskörper nennt man Zerlegungsring.

Lemma

Es sei ${}R$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ derganze Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ einPrimidealvon ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$ . Dann gelten folgende Eigenschaften.

Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
$G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}})).$
Wenn die Erweiterung der Restekörperseparabelist, so handelt es sich bereits um eine Galoiserweiterung, und der Gruppenhomomorphismus ist surjektiv.
Wenn ${}{\mathfrak {q}}$ zusätzlichunverzweigtist, so liegt ein Isomorphismusvor.

Beweis

Sei ${}\sigma \in G_{\mathfrak {q}}$ ,also ${}\sigma ^{-1}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}$ .Dies induziert einen Ringautomorphismus(der ${}R$ fest lässt)
$\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$
und einen Körperautomorphismus
$\sigma \colon \kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}),$
der ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ fest lässt, also ein Element der Galoisgruppe zur Körpererweiterung ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$ .Diese Zuordnung ist insgesamt ein Gruppenhomomorphismus aufgrund der Kommutativität des Diagramms
${\begin{matrix}S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
NachAufgabe 22.6können wir davon ausgehen, indem wir ${}K$ durch denZerlegungskörperund ${}{\mathfrak {p}}$ durch den Schnitt von ${}{\mathfrak {q}}$ mit dem Zerlegungsring ersetzen, dass die Zerlegungsgruppe die volle Galoisgruppe ist, dass also ${}{\mathfrak {q}}$ das einzige Primideal oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ ist. Aufgrund der Voraussetzung über die Separabilität können wirnach dem Satz vom primitiven Element
${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\,$
ansetzen, wobei wir unmittelbar ${}z\in S$ annehmen können. Es sei ${}P\in R[X]$ das Minimalpolynom von ${}z$ über ${}R$ . Es ist also ${}P(z)=0$ in ${}S$ und damit insbesondere ${}P(z)=0$ in ${}\kappa ({\mathfrak {q}})$ . Da ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist, zerfällt wegenSatz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ${}P$ in ${}L[X]$ und damit wegenSatz 21.2auch in ${}S[X]$ in Linearfaktoren. Dies gilt dann auch in ${}\kappa ({\mathfrak {q}})[X]$ und überträgt sich auf das Minimalpolynom von ${}z$ über ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ , was wiederum nachSatz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))bedeutet, dass die Restekörpererweiterung galoissch ist.
Es sei nun
$\tau \colon \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]$
ein ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ -Körperautomorphismus, der den Erzeuger ${}z$ auf ein Element ${}w\in \kappa ({\mathfrak {q}})$ schickt, das wir wiederum als repräsentiert durch eine Nullstelle ${}w$ von ${}P$ annehmen dürfen. NachKorollar 15.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))gehört dazu ein ${}K$ -Automorphismus von ${}L$ , der ${}z$ in ${}w$ überführt, und dessen Einschränkung stimmt mit ${}\tau$ überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt.
NachLemma 22.3 (4)ist im unverzweigten Fall ${}{\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=f$ und dies ist nach Definition der Grad der Körpererweiterung
${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\,.$
Da nach (2) die Restekörpererweiterung galoissch ist, besitzt deren Galoisgruppe ebenfalls ${}f$ Elemente und deshalb folgt aus der Surjektivität bereits die Bijektivität.

\Box

Definition

Es sei ${}R$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ derganze Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ einPrimidealvon ${}S$ . Dann nennt man

{}I_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G_{\mathfrak {q}}\mid \sigma {|}_{\kappa ({\mathfrak {q}})}=\operatorname {Id} \right\}}\,

die Trägheitsgruppe zu ${}{\mathfrak {q}}$ .

Es liegt also eine Kette von Untergruppen

{}I_{\mathfrak {q}}\subseteq G_{\mathfrak {q}}\subseteq G\,

vor.

Definition

Es sei ${}R$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ derganze Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ einPrimidealvon ${}S$ . Dann nennt man denFixkörperzurTrägheitsgruppe ${}I_{\mathfrak {q}}$ denTrägheitskörper zu ${}{\mathfrak {q}}$ . Er wird mit ${}T_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe ${}G$ . Es sei ${}S$ derganze Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ und sei ${}{\mathfrak {q}}$ einPrimidealvon ${}S$ . Die Erweiterung der Restekörperseiseparabel.

Dann ist dieOrdnungderTrägheitsgruppe ${}I_{\mathfrak {q}}$ gleich dem Verzweigungsindexvon ${}{\mathfrak {q}}$ .

Insbesondere ist die Trägheitsgruppe genau dann trivial, wenn in ${}{\mathfrak {q}}$ keineVerzweigungvorliegt.

Beweis

NachLemma 22.5 (2)liegt einekurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I_{\mathfrak {q}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G_{\mathfrak {q}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

vor. Die Ordnung der Galoisgruppe rechts ist der Trägheitsgrad ${}f$ und die Ordnung derZerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ ist nachLemma 22.3gleich ${}ef$ , wobei ${}e$ den Verzweigungsindex bezeichnet. Deshalb ist die Ordnung der Trägheitsgruppe gleich ${}e$ .

\Box

Wir besprechen weiter Besonderheiten in der zahlentheoretischen Situation, die insbesondere damit zusammenhängen, dass Körpererweiterungen zwischen endlichen Körper zyklisch sind und vom Frobenius(bzw. einer Frobeniuspotenz)erzeugt werden.

Korollar

Es sei ${}R$ einZahlbereichmitQuotientenkörper ${}K=Q(R)$ und sei ${}K\subseteq L$ eineendliche Galoiserweiterungmit einer nicht zyklischen Galoisgruppe ${}G$ .

Dann sind alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ aus ${}R$ bis auf endlich viele Ausnahmen imganzen Abschlussvon ${}R$ in ${}L$ zerlegt.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ nicht verzweigt und sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ . Nehmen wir an, dass ${}{\mathfrak {p}}$ unzerlegt ist, dass also ${}{\mathfrak {q}}$ das einzige Primideal darüber ist. Dann liegt nachLemma 22.5 (3)ein Gruppenisomorphismus

G=G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))

vor. Da die Gruppe rechts nachSatz 5.23bzw. nachKorollar 16.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))zyklisch ist, ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung.

\Box

Bemerkung

Es sei ${}R\subseteq S$ eine Erweiterung vonZahlbereichenzu einerGaloiserweiterung ${}Q(R)=K\subseteq Q(S)=L$ mitGaloisgruppe ${}G$ . Wenn ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ aus ${}R$ unverzweigtin ${}S$ und ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal darüber ist, so liegt nachLemma 22.5 (3)ein kanonischer Isomorphismus zwischen der Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ und der zyklischen Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))$ , die vom Frobenius bzw. einer Frobeniuspotenz(sieheKorollar 16.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)))erzeugt wird. Man nennt daher auch den entsprechenden Erzeuger der Zerlegungsgruppe ${}G_{\mathfrak {q}}$ den Frobenius. Dafür schreibt man

{\left({\mathfrak {q}},L/K\right)}

und spricht vom Frobenius. Es ist also ${}{\left({\mathfrak {q}},L/K\right)}\in G_{\mathfrak {q}}\subseteq G$ ,und man betrachtet diesen Frobenius als Element der Galoisgruppe. Wenn ${}{\mathfrak {q}}'$ ein weiteres Primideal über ${}{\mathfrak {p}}$ ist, so sindnach Lemma 22.3die Zerlegungsgruppen über

G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow G_{{\mathfrak {q}}'},\,\sigma \longmapsto \tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1},

zueinander isomorph und zwar konjugiertin ${}G$ . Insbesondere sind dann die Frobenii zueinander konjugiertund bilden eineKonjugationsklasse.Wenn zusätzlich eine abelsche Erweiterung vorliegt, so stimmen diese Frobenius-Automorphismen überein und hängen nur von dem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ aus ${}R$ ab. Man bezeichnet diesen Frobenius mit ${}{\left({\mathfrak {p}},L/K\right)}$ und spricht vom Artinsymbol.

Der Dichtigkeitssatz von Tschebotarjowsch besagt, dass bei einer Galoiserweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ mit(der Einfachheit halber kommutativen)Galoisgruppe ${}G$ die Menge der Primzahlen, für die ein bestimmtes Gruppenelement ${}g\in G$ der Frobenius ist, gleichverteilt ist. Insbesondere ist die „Wahrscheinlichkeit“, dass die Identität der Frobenius ist, was ja einfach bedeutet, dass die Zerlegungsgruppe trivial ist, was wiederum nachLemma 22.3 (1)bedeutet, dass ${}p$ voll zerlegtist, gleich ${}1/{\#\left(G\right)}$ ist.

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