Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 21

Es sei${\displaystyle {}\sigma \in G}$und${\displaystyle {}f\in S}$.Es sei

${\displaystyle {}0=f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\,}$

eineGanzheitsgleichungfür ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}R}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=\sigma {\left(f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\right)}\\&=\sigma (f)^{n}+\sigma (r_{n-1})\sigma (f)^{n-1}+\cdots +\sigma (r_{2})\sigma (f)^{2}+\sigma (r_{1})\sigma (f)+\sigma (r_{0})\\&=\sigma (f)^{n}+r_{n-1}\sigma (f)^{n-1}+\cdots +r_{2}\sigma (f)^{2}+r_{1}\sigma (f)+r_{0}\end{aligned}}}$

und somit erfüllt auch ${\displaystyle {}\sigma (f)}$ eine Ganzheitsgleichung über ${\displaystyle {}R}$, also${\displaystyle {}\sigma (f)\in S}$.Deshalb lässt sich ${\displaystyle {}\sigma }$ zu einer Abbildung von ${\displaystyle {}S}$ nach ${\displaystyle {}S}$ einschränken.

Die Gleichheit ${\displaystyle {}S\cap K=R}$ist klar, da ${\displaystyle {}R}$ als normal vorausgesetzt wird. Deshalb ist

${\displaystyle {}S^{G}\subseteq S\cap L^{G}=S\cap K=R\,,}$

die umgekehrte Inklusion${\displaystyle {}R\subseteq S^{G}}$ist klar.

Dies folgt direkt ausSatz 21.2.

(1) ist wegen${\displaystyle {}R^{G}\subseteq R}$klar.
(2). Es sei${\displaystyle {}K=Q(R)}$derQuotientenkörpervon ${\displaystyle {}R}$. Zu jedem${\displaystyle {}\sigma \in G}$setzt sich derRingautomorphismus${\displaystyle {}f\mapsto f\sigma }$aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahmezu einemKörperautomorphismus${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}}$ fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q{\left(R^{G}\right)}}$ hat die Form ${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}}$ mit invarianten Elementen${\displaystyle {}f,g\in R^{G}}$.Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf ${\displaystyle {}K}$. Daher gilt ${\displaystyle {}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}}$.
(4). Die Inklusion ${\displaystyle {}R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}}$ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}Q(R)}$ eingeschränkt auf ${\displaystyle {}R}$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also${\displaystyle {}f\in R}$ist und aufgefasst in ${\displaystyle {}Q(R)}$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.

Die Inklusion${\displaystyle {}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}}$giltnach Proposition 21.5  (3)für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien${\displaystyle {}f,g\in R}$, ${\displaystyle {}g\neq 0}$,mit${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}}$gegeben. Wir betrachten

${\displaystyle {}h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.}$

Dann gelten in ${\displaystyle {}Q(R)}$ die Identitäten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner(sieheAufgabe 21.7)invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}}$.

Zu${\displaystyle {}f\in R}$betrachten wir das Produkt

${\displaystyle {}P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,.}$

Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zumInvariantenring${\displaystyle {}R^{G}}$. Ferner ist ${\displaystyle {}P}$ normiert und es ist${\displaystyle {}P(f)=0}$(da ja${\displaystyle {}X-fe_{G}=X-f}$ein Linearfaktor ist).Somit liefert ${\displaystyle {}P}$ eine Ganzheitsgleichungfür ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}R^{G}}$ und daher ist${\displaystyle {}R^{G}\subseteq R}$ganz.

Dies folgt ausLemma 21.7und ausSatz Anhang 5.3.

Wenn${\displaystyle {}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}}$ist und${\displaystyle {}f\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}}$, so ist auch${\displaystyle {}f=f\sigma \in {\mathfrak {p}}}$,also ist

${\displaystyle {}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=R^{G}\cap {\mathfrak {p}}=R^{G}\cap {\mathfrak {q}}=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})\,.}$

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}\in \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}}$ und es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein Element dieser Faser, welches esnach Korollar 21.8gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ der Faser in der Bahn durch ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ liegt, dass es also ein${\displaystyle {}\sigma \in G}$mit${\displaystyle {}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}}$gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ ein Primideal der Faser über ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}}$, das aber nicht zur Bahn durch ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ gehört. Aus${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}\neq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})}$(für alle${\displaystyle {}\sigma \in G}$)folgt${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})}$,da andernfalls die Faser im Widerspruch zuLemma Anhang 5.5nicht nulldimensional wäre.Nach Lemma 11.10 (Kommutative Algebra)ist dann auch

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \bigcup _{\sigma \in G}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=:T\,.}$

Sei${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {q}}}$, ${\displaystyle {}f\notin T}$.Die Menge ${\displaystyle {}T}$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch${\displaystyle {}f\sigma \notin T}$.Somit ist auch${\displaystyle {}g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T}$. Andererseits ist aber${\displaystyle {}g\in R^{G}}$und${\displaystyle {}g\in {\mathfrak {q}}}$,also ergibt sich der Widerspruch${\displaystyle {}g\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq T}$.

Die Abbildung

${\displaystyle \iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}}$

istnach Korollar 21.8surjektiv,so dass nach Lemma 21.9die Punkte aus ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}}$ den Bahnen der Gruppenoperation entsprechen. Daher ist ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}}$ ein mengentheoretischer Quotient.Nach Korollar 21.8 trägt ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}}$ dieBildtopologie,so dass es sich auch um einen topologischen Quotienten handelt.

NachKorollar 21.3ist${\displaystyle {}R^{G}=\mathbb {Z} }$.Wenn${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$auf das gleiche Primideal in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ runterschneiden, so gibt es nachLemma 21.9einen Automorphismus

${\displaystyle \sigma \colon R\longrightarrow R}$

mit${\displaystyle {}\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}}$.Dazu gehört ein Isomorphismus

${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow R_{\mathfrak {q}}}$

und ein Isomorphismus der Restekörper.