Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 19

NachKorollar 19.4ist(mit${\displaystyle {}R=K[Y]}$und${\displaystyle {}A=R[X]/(Y-P(X))}$)

${\displaystyle {}\Omega _{K[X]{|}K[Y]}=\Omega _{K[Y][X]/(Y-P(X)){|}K[Y]}=K[X]/d(Y-P(X))=K[X]/(P')\,.}$

1. NachLemma Anhang 9.6ist

   ${\displaystyle {}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{S\setminus \{0\}}=\Omega _{Q(S){|}R}=\Omega _{Q(S){|}Q(R)}\,.}$

   Somit folgt die Aussage ausdem Satz vom primitiven Elementin Verbindung mitKorollar 19.4.

2. Folgt aus (1) aufgrund der endlichen Erzeugtheit von ${\displaystyle {}\Omega _{S{|}R}}$.
3. Folgt aus (2), man kann für ${\displaystyle {}r}$ die Norm von ${\displaystyle {}s}$ nehmen, die ja nachKorollar 10.8(im zahlentheoretischen Kontext)ein Vielfaches von ${\displaystyle {}s}$ ist.
4. Folgt aus (2) und daraus, dass es in einem Dedekindbereich nur endlich viele Primideale oberhalb eines Elementes ${\displaystyle {}\neq 0}$ gibt.
5. Folgt aus (3) und der endlichen Erzeugtheit.

Im ersten Fall ist nach Satz 9.8${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}-D\right)}}$und daher nach Korollar 19.4

${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdX/d{\left(X^{2}-D\right)}=RdX/2XdX\cong R/2X=R/2{\sqrt {D}}\,.}$

Im zweiten Fall ist

${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}\,}$

mit${\displaystyle {}Y={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$.Somit ist

${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }=RdY/d{\left(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}}\right)}=RdY/(2Y-1)dY=RdY/{\sqrt {D}}dY\cong R/{\sqrt {D}}\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}A}$ reduziert ist, so liegt eine endliche Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq A}$vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpersseparabelist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir${\displaystyle {}A=K[x]=K[X]/(F)}$.NachLemma Anhang 8.3erzeugen${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$das Einheitsidealund somit folgt aus${\displaystyle {}F'(x)dx=0}$,dass sogar${\displaystyle {}dx=0}$ist. Somit folgt die Aussage ausKorollar 19.4.

Es sei nun angenommen, dass ${\displaystyle {}A}$ nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da ${\displaystyle {}A}$ eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit${\displaystyle {}x\in A}$, ${\displaystyle {}x\notin K}$,ist ${\displaystyle {}K[x]}$ ein Erweiterungskörper von ${\displaystyle {}K}$. Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegenLemma 19.3annehmen, dass nur die Elemente aus ${\displaystyle {}K\setminus {0}}$ Einheiten in ${\displaystyle {}A}$ sind. Dann ist

${\displaystyle {}A=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,}$

und die ${\displaystyle {}x_{i}}$ gehören zum maximalen Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$. Indem wir die Restklassenabbildung

${\displaystyle A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}^{2}}$

betrachten undLemma Anhang 9.8heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation

${\displaystyle {}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(X_{i}X_{j},\,1\leq i\leq j\leq n)\,}$

vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger${\displaystyle {}x_{1}\neq 0}$ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo ${\displaystyle {}(x_{2},\ldots ,x_{n})}$ gehen und erhalten die Situation ${\displaystyle {}K[X]/(X^{2})}$. Dafür zeigtKorollar 19.4,dass${\displaystyle {}dx\neq 0}$ist.

Es sei${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=\mathbb {Z} \cap {\mathfrak {q}}}$,und wir können wegenLemma Anhang 9.6direkt zu

${\displaystyle B=\mathbb {Z} _{\mathfrak {p}}\longrightarrow A=R_{\mathbb {Z} \setminus {\mathfrak {p}}}}$

übergehen. Die Bedingung

${\displaystyle {}{\left(\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }\right)}_{\mathfrak {q}}={\left(\Omega _{A{|}B}\right)}_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\neq 0\,}$

ist äquivalent zu

${\displaystyle {}\Omega _{A{|}B}\otimes _{A}A/{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}\neq 0\,,}$

da ja ${\displaystyle {}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}}$ ein endlicher erzeugter ${\displaystyle {}A_{\mathfrak {q}}}$-Modul über dem lokalen Ring ${\displaystyle {}A_{\mathfrak {q}}}$ ist. Wegen der natürlichen Surjektion

${\displaystyle A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\longrightarrow A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}}$

ist dies auch äquivalent zu

${\displaystyle {}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}\neq 0\,.}$

Nach Lemma Anhang 9.11angewendet auf

${\displaystyle {\begin{matrix}A_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}&\\\uparrow &&\uparrow &\\B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&B/{\mathfrak {p}}=\kappa ({\mathfrak {p}})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

ist

${\displaystyle {}\Omega _{A_{\mathfrak {q}}{|}B}\otimes _{A_{\mathfrak {q}}}A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}=\Omega _{A_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {p}}A_{\mathfrak {q}}{|}B/{\mathfrak {p}}}\,}$

und dies ist die Lokalisierung von ${\displaystyle {}\Omega _{A/{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}}$ an ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$. Somit ist die Lokalisierung von ${\displaystyle {}\Omega _{A{|}B}}$ an ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ genau dann von ${\displaystyle {}0}$ verschieden, wenn ${\displaystyle {}\Omega _{A/A{\mathfrak {p}}{|}B/{\mathfrak {p}}}}$ lokalisiert an ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ab. Nach(dem Beweis zu)Satz 18.10liegt in ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ genau dann Verzweigung vor, wenn${\displaystyle {}R/{\mathfrak {q}}=A/{\mathfrak {q}}}$ nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage ausLemma 19.11.