Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 15

Wir können direkt annehmen, dass die ${\displaystyle {}F_{i}}$ zu ${\displaystyle {}B[X]}$ gehören. Die maximalen Idealevon ${\displaystyle {}R}$ sind ${\displaystyle {}(p,F_{j})}$ für${\displaystyle {}j=1,\ldots ,s}$.Die Voraussetzung bedeutet für ${\displaystyle {}B[X]}$ die Beziehung${\displaystyle {}F_{1}\cdots F_{s}=F+pH}$und für

${\displaystyle {}R=B[X]/(F)\,}$

die Gleichheit

${\displaystyle {}F_{1}\cdots F_{s}=pH\,.}$

Da${\displaystyle {}F_{i}}$ und ${\displaystyle {}F_{j}}$teilerfremd sind, sind die ${\displaystyle {}F_{i}}$ Einheiten in derLokalisierung${\displaystyle {}R_{(p,F_{j})}}$ und daher ist

${\displaystyle {}F_{j}={\frac {H}{F_{1}\cdots F_{j-1}F_{j+1}\cdots F_{s}}}\cdot p\,.}$

D.h. in ${\displaystyle {}R_{(p,F_{j})}}$ ist das maximale Ideal ein Hauptideal mit dem Erzeuger ${\displaystyle {}p}$ und daher liegt nachSatz 10.17ein diskreter Bewertungsring vor. Somit ist ${\displaystyle {}R}$ normal.

Dies folgt ausLemma 15.1in Verbindung mit einer Variante vonAufgabe 7.35.

Wir betrachten ${\displaystyle {}F}$ als irreduzibles Polynom in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$. In Charakteristik${\displaystyle {}0}$ sind ${\displaystyle {}F}$ irreduzibel und ${\displaystyle {}F'}$ teilerfremd. Deshalb gibt es Polynome${\displaystyle {}A,B\in \mathbb {Q} [X]}$mit${\displaystyle {}AF+BF'=1}$.Es sei${\displaystyle {}m\in \mathbb {Z} }$ein Hauptnenner der Koeffizienten von${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$.Dann gibt es Polynome${\displaystyle {}C,D\in \mathbb {Z} [X]}$mit${\displaystyle {}CF+DF'=m}$.Für jede Primzahl ${\displaystyle {}p}$, die kein Teiler von ${\displaystyle {}m}$ ist, gilt entsprechend${\displaystyle {}CF+DF'=m}$in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$ und ${\displaystyle {}m}$ ist dort eine Einheit. Deshalb sind ${\displaystyle {}F,F'}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$ teilerfremd und die Normalität von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(F)}$ folgt ausKorollar 15.2.

In ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$ sind die ${\displaystyle {}F_{j}}$ zueinander paarweise teilerfremd. Wir behaupten, dass in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]/(F)}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}(p)=(p,F_{1}^{r_{1}})\cap \ldots \cap (p,F_{s}^{r_{s}})=(p,F_{1}^{r_{1}})\cdots (p,F_{s}^{r_{s}})\,}$

gilt, wobei die letzte Gleichheit aufLemma 12.6beruht. Zum Nachweis der linken Gleichheit sei

${\displaystyle {}a=a_{1}p+b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =a_{s}p+b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,,}$

es ist${\displaystyle {}a\in (p)}$zu zeigen. Modulo ${\displaystyle {}p}$ ist

${\displaystyle {}a=b_{1}F_{1}^{r_{1}}=\ldots =b_{s}F_{s}^{r_{s}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)}$. Nach[[Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Satz 12.8 ]]ist

${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)=\mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p)[X]/(F_{s}^{r_{s}})\,.}$

Die Voraussetzung bedeutet, dass ${\displaystyle {}a}$ in jeder Komponente ${\displaystyle {}0}$ ist, also insgesamt gleich ${\displaystyle {}0}$ ist.

Dies folgt aus Lemma 15.5,da im reduzierten Fall die Exponenten${\displaystyle {}r_{j}=1}$sind, und dann ${\displaystyle {}(p,F_{j})}$ Primideale sind, oder ausLemma 15.1in Verbindung mitSatz 12.2.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ einmaximales Idealvon ${\displaystyle {}R}$. Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\B/(p)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/pR&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&(R/pR)_{\mathfrak {p}}\cong R_{\mathfrak {p}}/pR_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}}$

Als Lokalisierung eines nach Voraussetzung reduzierten Ringes ist der Ring rechts unten reduziert, also hier sogar ein Körper. Dies heißt aber, dass

${\displaystyle {}(p)R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,}$

gilt und das bedeutet, dass ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ ein diskreter Bewertungsring ist.

Wir betrachten die endliche Erweiterung

${\displaystyle {}R=B[h]\subseteq S\,,}$

die als identisch nachzuweisen ist. Es ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=B[h]\cap {\mathfrak {q}}}$das maximale Ideal von ${\displaystyle {}B[h]}$, der ebenfalls ein lokaler Ring ist, und es ist${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}S=hS={\mathfrak {q}}}$.Ferner ist

${\displaystyle {}B[h]+hS=S\,.}$

Für${\displaystyle {}f\in S}$gilt ja im Restekörper ${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {q}})}$

${\displaystyle {}{\overline {f}}={\overline {P}}({\overline {h}})\,}$

mit einem Polynom ${\displaystyle {}{\overline {P}}}$ über ${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})}$. In ${\displaystyle {}S}$ gilt deshalb

${\displaystyle {}f=P(h)+hg\,}$

mit${\displaystyle {}g\in S}$.Nachdem Lemma von Nakayamagilt${\displaystyle {}R=S}$.