Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 12

Der Satz von Dedekind

Korollar

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereichund seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ Ideale in ${}R$ .

Dann gilt ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ genau dann, wenn es ein Ideal ${}{\mathfrak {c}}$ mit ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ gibt.

Bei ${}{\mathfrak {b}}\neq 0$ ist ${}{\mathfrak {c}}$ eindeutig bestimmt.

Die Implikation „ ${}\Leftarrow$ “ gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn ${}{\mathfrak {a}}=0$ ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von ${}0$ verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach Lemma 11.11 (3),dass ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {b}})$ ist. Somit ist

{}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {div} ({\mathfrak {b}})+E\,

mit einem effektiven Divisor ${}E$ . Nach Satz 11.13übersetzt sich dies zurück zu ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cdot \operatorname {Id} (E)$ ,so dass mit ${}{\mathfrak {c}}=\operatorname {Id} (E)$ die rechte Seite erfüllt ist.

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Die folgende Aussage heißt Satz von Dedekind. Sie liefert für jeden Zahlbereich auf der Idealebene einen Ersatz für die eindeutige Primfaktorzerlegung.

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereichund ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Idealin ${}R$ .

Dann gibt es eine Produktdarstellung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge)eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,k$ .

Beweis

Wir benutzenSatz 11.13,also die bijektive Beziehung zwischen Idealen ${}\neq 0$ und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung

{}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{i=1}^{k}r_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,

mit geeigneten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}$ . Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung ${}D\mapsto \operatorname {Id} (D)$ an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal ${}{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ abgebildet wird. Dies folgt aber direkt ausSatz 11.13.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereichund ${}f\in R$ , ${}f\neq 0$ .

Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal

${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge)eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,k$ .

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 12.2.

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Chinesischer Restsatz für Dedekindbereiche

Wir kommen zum chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche, der den klassischen chinesischen Restsatz für ganze Zahlen wesentlich verallgemeinert. Dazu erinnern wir kurz an Produktringe und idempotente Elemente.

Definition

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe.Dann heißt das Produkt

R_{1}\times \cdots \times R_{n},

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ .

Definition

Ein Element ${}e$ eineskommutativen Ringesheißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Die Elemente ${}0$ und ${}1$ sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert ${}0$ oder ${}1$ besitzen, idempotent, also beispielsweise ${}(1,0)$ .

Lemma

Es sei ${}R$ einkommutativer Ringund seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ Idealemit ${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=R$ .

Dann ist

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.$

Beweis

Die Inklusion ${}\supseteq$ gilt immer. Es sei also ${}x\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ und seien ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ Elemente mit ${}a+b=1$ .Dann ist

{}x=x\cdot 1=x(a+b)=xa+xb\in {\mathfrak {b}}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\,.

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Lemma

Es sei ${}R$ einkommutativer Ringund seien ${}{\mathfrak {a}}_{j}$ , ${}j=1,\ldots ,n$ ,Idealemit ${}{\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=R$ für alle ${}i\neq j$ .

Dann ist

${}R/{\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n}\cong R/{\mathfrak {a}}_{1}\times \cdots \times R/{\mathfrak {a}}_{n}\,.$

Beweis

Der allgemeine Fall folgt aus dem Fall für ${}n=2$ ,so dass wir uns darauf beschränken. Die natürliche Abbildung

R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}

hat den Durchschnitt ${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}$ als Kern. Dieser stimmt nachLemma 12.6mit dem Produkt ${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$ überein und wir erhalten einen injektiven Ringhomomorphismus

R/{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}\times R/{\mathfrak {b}}.

Es ist also noch die Surjektivität nachzuweisen. Es sei dazu ${}(r,s)$ rechts gegeben. Es seien ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ mit ${}a+b=1$ .Dann ist ${}r-ar+s-sb$ ein Urbild. Dieses Element wird ja in der ersten Komponente auf

{}r-ar+s-sb=r+s-s(1-a)=r+s-s=r\,

abgebildet und entsprechend in der zweiten Kompoente auf ${}s$ .

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Satz

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Dedekindbereichmit der eindeutigen Primidealzerlegung

{}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.

Dann gibt es einen natürlichenRingisomorphismus

${}R/{\mathfrak {a}}\cong R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Beweis

Da Dedekindbereiche eindimensional sind und die Primideale in der Zerlegung verschieden sind, gilt ${}{\mathfrak {p}}_{i}+{\mathfrak {p}}_{j}=R$ für ${}i\neq j$ .Dies überträgt sich direkt auf die Potenzen. Somit folgt die Aussage ausLemma 12.7.

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Beispiel

Wir betrachten

{}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+3)\subseteq \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}+Y+1)=S\,

mit ${}X\mapsto 2Y+1$ , die beide quadratische Erweiterungen von ${}\mathbb {Z}$ sind und wobei ${}S$ der Ring der Eisenstein-Zahlenist und die Normalisierung von ${}R$ ist. Der Faserringzu ${}R$ über ${}2$ ist

{}\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+3)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+1)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X+1)^{2}\,,

er ist also nicht reduziert. Der Fasering zu ${}S$ über ${}2$ ist

\mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+Y+1)

und dies ist ein Körper mit vier Elementen. In ${}S$ liegt die Zerlegung in Primideale ${}(2)=(2)$ vor. In ${}R$ kann man hingegen das Ideal ${}(2)$ nicht als ein Produkt von Primidealen schreiben. Das einzige Primideal oberhalb von ${}(2)$ in ${}R$ ist ${}(2,X+1)$ . Das Quadrat davon ist aber bereits

{}{\begin{aligned}(2,X+1)\cdot (2,X+1)&=(4,2X+2,X^{2}+2X+1)\\&=(4,2X+2,X^{2}-1)\\&=(4,2X+2)\\&\subset (2),\end{aligned}}

wobei die letzte Inklusion echt ist. Der Restklassenring ${}R/(4,2X+2)$ besitzt ${}12$ Elemente.

Korollar

Es sei ${}R$ einZahlbereichund ${}p$ einePrimzahl.In ${}R$ gelte die Idealzerlegung

{}(p)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.

Dann gilt für denFaserringüber ${}p$ die Produktzerlegung

${}R/pR=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt ausSatz 12.8.

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Wir formulieren explizit die beiden folgenden Spezialfälle des chinesischen Restsatzes.

Korollar

Es sei ${}R$ einHauptidealbereich und ${}f\in R$ , ${}f\neq 0$ , ein Element mit kanonischerPrimfaktorzerlegung

{}f=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.

Dann gilt für denRestklassenring ${}R/(f)$ die kanonischeIsomorphie

${}R/(f)\cong R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Korollar

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

{}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,

(die ${}p_{i}$ seien also verschieden und ${}r_{i}\geq 1$ ).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Zu gegebenen ganzen Zahlen ${}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})$ gibt es also genau eine natürliche Zahl ${}a<n$ ,die die simultanen Kongruenzen

a=a_{1}\mod p_{1}^{r_{1}},\,\,a=a_{2}\mod p_{2}^{r_{2}},\,\ldots ,\,\,a=a_{k}\mod p_{k}^{r_{k}}

löst.

Die Multipliktivität der Norm

Satz

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$ mit der eindeutigen Primidealzerlegung

{}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.

Dann ist

${}N({\mathfrak {a}})=N({\mathfrak {p}}_{1})^{r_{1}}\cdots N({\mathfrak {p}}_{k})^{r_{k}}\,.$

Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Zahlbereicheist

{}R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,

und somit ist

{}N({\mathfrak {a}})=N({\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}})\cdots N({\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}})\,.

Es ist also nur noch die Aussage für eine Primidealpotenz ${}{\mathfrak {p}}^{r}$ zu zeigen. Dies geschieht durch Induktion über ${}r$ , wobei der Induktionsanfang klar ist. Es liegt wegen ${}{\mathfrak {p}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {p}}^{r}$ einekurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {p}}^{r}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

vor. Dabei ist

{}{\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}={\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r+1}R_{\mathfrak {p}}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=R/{\mathfrak {p}}\,.

Deshalb ist

{}{\begin{aligned}N({\mathfrak {p}}^{r+1})&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\\&={\#\left({\mathfrak {p}}^{r}/{\mathfrak {p}}^{r+1}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&={\#\left(R/{\mathfrak {p}}\right)}\cdot {\#\left(R/{\mathfrak {p}}^{r}\right)}\\&=N({\mathfrak {p}})\cdot N({\mathfrak {p}})^{r}\\&=N({\mathfrak {p}})^{r+1}.\end{aligned}}

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Korollar

Es sei ${}R$ einZahlbereichund seien ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\neq 0$ Idealein ${}R$ .

Dann ist

${}N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})\cdot N({\mathfrak {b}})\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar ausSatz 12.13.

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Bemerkung

Zu einemZahlbereich ${}R$ und einem Element ${}f\in R$ , ${}f\neq 0$ ,kann man folgendermaßen den zugehörigen Hauptdivisorbzw. die Primidealzerlegung ${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ algorithmisch berechnen. Dabei arbeitet man im Restklassenring ${}R/(f)$ und man setzt voraus, dass für ${}R$ selbst eine Restklassendarstellung über ${}\mathbb {Z}$ vorliegt. Für den Restklassenring ${}R/(f)$ hat man dann ebenfalls eine Restklassendarstellung und man weiß, dass dieser endlich ist, also grundsätzlich algorithmisch beherrschbar ist. Das erste Problem ist, die Primideale in ${}R$ zu bestimmen, in denen ${}f$ enthalten ist, doch diese entsprechen den maximalen Idealen ${}{\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{k}$ von ${}R/(f)$ (die zugehörigen Primideale in ${}R$ seien mit ${}{\mathfrak {p}}_{i}$ bezeichnet).Dabei liegt dann ein Produktring

{}R/(f)=R_{1}\times \cdots \times R_{k}\,

vor, wobei die ${}R_{j}$ lokalmit Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}_{j}=R/{\mathfrak {p}}_{j}$ sind. WegenSatz 12.8weiß man

{}R/{\mathfrak {p}}_{j}^{r_{j}}=R_{j}\,.

Man kann nun in ${}R_{j}$ die Exponenten ${}r_{j}$ jeweils als die minimalen Exponenten mit ${}{\mathfrak {m}}_{j}^{r}=0$ bestimmen. Bei der Bestimmung der Exponenten hilft auch die Norm. NachSatz 12.13in Verbindung mitLemma 10.6ist

{}\vert {N(f)}\vert ={\#\left(R/(f)\right)}=N({\mathfrak {p}}_{1})^{r_{1}}\cdots N({\mathfrak {p}}_{k})^{r_{k}}\,

und aus

{}{\#\left(R_{j}\right)}=N({\mathfrak {p}}_{j})^{r_{j}}\,

kann man wieder die Exponenten ${}r_{j}$ bestimmen.

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