Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 10

Wenn ${\displaystyle {}f\in R}$ eine Einheit ist, so ist${\displaystyle {}fg=1}$mit einem${\displaystyle {}g\in R}$und ausder Multiplikativität der Normfolgt

${\displaystyle {}N(f)N(g)=N(1)=1\,,}$

woraus nachKorollar 7.11${\displaystyle {}N(f)=\pm 1}$folgt. Die Umkehrung folgt ausKorollar 8.6und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu ${\displaystyle {}f}$ auf${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} ^{n}}$bijektiv ist.

Dies ist ein Spezialfall vonLemma 8.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Z} \longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}}.}$

Der Ring rechts hat nach Definition ${\displaystyle {}N({\mathfrak {a}})}$ Elemente. Deshalb gehört diese Zahl zum Kern der Gesamtabbildung.

Das Hauptideal ${\displaystyle {}Rf}$ ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle R\longrightarrow R,\,1\longmapsto f.}$

Dieser wird unter einer Identifizierung${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} ^{n}}$(also der Wahl einerGanzheitsbasisvon ${\displaystyle {}R}$)durch die zu ${\displaystyle {}f}$ gehörende Multiplikationsmatrix ${\displaystyle {}M_{f}}$ beschrieben. Es liegt insgesamt dias kommutative Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}R&{\stackrel {\mu _{f}}{\longrightarrow }}&R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/fR&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {M_{f}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}/\operatorname {bild} M_{f}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

mit vertikalen Isomorpien vor. Die Determinante von ${\displaystyle {}M_{f}}$ ist die Norm von ${\displaystyle {}f}$, und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe ${\displaystyle {}R/fR}$ ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage ausSatz Anhang 7.1.

Dies folgt ausLemma 10.6undLemma 10.5,angewendet auf das Hauptideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(f)}$.

Der Restklassenring${\displaystyle {}R/(a)}$ ist endlich nachLemma 10.2undLemma 10.6.Wir behaupten, dass Elemente aus der gleichen Nebenklasse zu ${\displaystyle {}R/(a)}$, die beide die Norm ${\displaystyle {}a}$ besitzen, zueinander assoziiert sind(für die ${\displaystyle {}f_{j}}$ wählen wir zu jeder Nebenklasse von ${\displaystyle {}R/(a)}$ einen Repräsentanten mit Norm ${\displaystyle {}a}$ aus, falls es überhaupt ein solches Element gibt).Es seien dazu${\displaystyle {}f,g,h\in R}$ mit

${\displaystyle {}f=g+ah\,}$

und mit${\displaystyle {}N(f)=N(g)=a}$. Dann ist in ${\displaystyle {}Q(R)}$

${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}={\frac {g+ah}{g}}=1+a{\frac {h}{g}}=1+{\frac {N(g)}{g}}h\,}$

und dies gehört zu ${\displaystyle {}R}$, da ${\displaystyle {}{\frac {N(g)}{g}}}$ nachKorollar 10.8zu ${\displaystyle {}R}$ gehört. Dies gilt auch, wenn man die Rollen von${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$vertauscht. Also teilen sich${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$gegenseitig und sind daher assoziiert.

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. NachSatz 9.18 ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, so dass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in ${\displaystyle {}R}$ eine Einheitoder nilpotentist. Es sei hierzu${\displaystyle {}f\in R}$keine Einheit. Dann ist${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}}$. Angenommen, ${\displaystyle {}f}$ ist nicht nilpotent. Dann gibt es nachLemma 3.9ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}R}$ mit${\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {p}}}$.Damit ergibt sich der Widerspruch${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}}$.

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{k}}$ von ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}m}$ mit ${\displaystyle f_{i}^{m}=0}$ für alle ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$. Sei${\displaystyle {}n=km}$.Dann ist ein beliebiges Element aus ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}}$ von der Gestalt

${\displaystyle {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i1}f_{i}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i2}f_{i}\right)}\cdots {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{in}f_{i}\right)}.}$

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen ${\displaystyle f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{k}^{r_{k}}}$ und ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}r_{i}=n}$, so dass ein ${\displaystyle {}f_{i}}$ mit einem Exponenten ${\displaystyle {}\geq n/k=m}$ vorkommt. Daher ist das Produkt ${\displaystyle {}0}$.

${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$ folgt direkt aus derDefinition 10.10.

${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (3)}$ folgt ausSatz 2.19.

${\displaystyle {}(3)\Rightarrow (4)}$ folgt ausSatz 6.12.

${\displaystyle {}(4)\Rightarrow (5)}$. Es sei ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$. Dann ist ${\displaystyle {}R/(f)}$ ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal(nämlich${\displaystyle {}{\tilde {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}R/(f)}$).Daher gibt es nachLemma 10.16ein${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$mit${\displaystyle {}{\tilde {\mathfrak {m}}}^{n}=0}$.Zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}R}$ heißt das, dass${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)}$gilt. Wir wählen ${\displaystyle {}n}$ minimal mit den Eigenschaften

${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {m}}^{n-1}\not \subseteq (f).}$

Wähle ${\displaystyle g\in {\mathfrak {m}}^{n-1}}$ mit ${\displaystyle g\not \in (f)}$ und betrachte

${\displaystyle {}h:={\frac {f}{g}}\in Q(R)\,}$

(es ist${\displaystyle {}g\neq 0}$).Das Inverse, also${\displaystyle {}h^{-1}={\frac {g}{f}}}$,gehört nicht zu ${\displaystyle {}R}$, sonst wäre${\displaystyle {}g\in (f)}$.Da ${\displaystyle {}R}$ nach Voraussetzung normal ist, ist ${\displaystyle {}h^{-1}}$ auch nichtganzüber ${\displaystyle {}R}$. Nach dem ModulkriteriumLemma 6.7für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\subset R}$die Beziehung

${\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}\,}$

ist. Nach Wahl von ${\displaystyle {}g}$ ist aber auch

${\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}={\frac {g}{f}}{\mathfrak {m}}\subseteq {\frac {{\mathfrak {m}}^{n}}{f}}\subseteq R\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist ${\displaystyle {}h^{-1}{\mathfrak {m}}=R}$. Das heißt einerseits ${\displaystyle {}h\in {\mathfrak {m}}}$und andererseits gilt für ein beliebiges${\displaystyle {}x\in {\mathfrak {m}}}$die Beziehung${\displaystyle {}h^{-1}x\in R}$,also${\displaystyle {}x=h(h^{-1}x)}$,also${\displaystyle {}x\in (h)}$und somit${\displaystyle {}(h)={\mathfrak {m}}}$.

${\displaystyle {}(5)\Rightarrow (1)}$. Sei${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(\pi )}$.Dann ist ${\displaystyle {}\pi }$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$ keine Einheit. Dann ist${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}}$ und daher${\displaystyle {}f=\pi g_{1}}$.Dann ist ${\displaystyle {}g_{1}}$ eine Einheit oder${\displaystyle {}g_{1}\in {\mathfrak {m}}}$.Im zweiten Fall ist wieder${\displaystyle {}g_{1}=\pi g_{2}}$und${\displaystyle {}f=\pi ^{2}g_{2}}$.

Wir behaupten, dass man${\displaystyle {}f=\pi ^{k}u}$mit einem${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$und einer Einheit ${\displaystyle {}u}$ schreiben kann. Andernfalls könnte man${\displaystyle {}f=\pi ^{n}g_{n}}$mit beliebig großem ${\displaystyle {}n}$ schreiben. NachLemma 10.16gibt es ein${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} }$mit${\displaystyle {}(\pi ^{m})={\mathfrak {m}}^{m}\subseteq (f)}$. Bei${\displaystyle {}n\geq m+1}$ergibt sich${\displaystyle {}\pi ^{m}=af=a\pi ^{m+1}b}$und der Widerspruch${\displaystyle {}1=ab\pi }$.

Es lässt sich also jede Nichteinheit ${\displaystyle {}\neq 0}$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist ${\displaystyle {}R}$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{s})}$ist${\displaystyle {}f_{i}=\pi ^{n_{i}}u_{i}}$mit Einheiten ${\displaystyle {}u_{i}}$. Dann sieht man leicht, dass${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(\pi ^{n})}$ist mit${\displaystyle {}n=\min _{i}\{n_{i}\}}$.

Die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}}$ ist lokal nachSatz 4.15,so dass es lediglich die beidenPrimideale${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$gibt. Ferner ist ${\displaystyle {}R}$ noethersch. Da ${\displaystyle {}R}$normalist, ist nachLemma 6.15auch die Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}}$ normal. WegenSatz 10.17ist ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {m}}}$ ein diskreter Bewertungsring.