Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Definitionsabfrage
Ein Element in einemkommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Elementmit gibt.
Zu einem Polynomheißt
einediophantische Gleichung.Unter einer Lösung einer diophantischen Gleichung versteht man ein ganzzahliges Zahlentupel,das in eingesetzt ergibt.
Einkommutativer, nullteilerfreier,von verschiedener Ringheißt Integritätsbereich.
Es sei einkommutativer Ring,und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt(oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist),wenn es einderart gibt, dassist. Man schreibt dafür auch .
Es sei einkommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente teilerfremd sind, wenn jedes Element,das sowohl als auch teilt,eine Einheitist.
EineNichteinheit in einemkommutativen Ringheißt irreduzibel(oder unzerlegbar),wenn eine Faktorisierungnur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
EineNichteinheitin einemkommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement),wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt mit ,so teilt einen der Faktoren.
EinIntegritätsbereich,in dem jedesIdealeinHauptidealist, heißt Hauptidealbereich.
Ein Integritätsbereichheißt faktorieller Bereich, wenn jedeNichteinheitsich als ein Produkt vonPrimelementenschreiben lässt.
EinIdeal in einemkommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn fürmitfolgt: oder .
EinIdeal in einemkommutativen Ring heißt maximales Ideal, wennist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.
Zu einemkommutativen Ring nennt man die Menge der Primideale von das Spektrum von , geschrieben
Auf dem Spektrumeines kommutativen Ringes ist die Zariski-Topologiedadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmengedie Mengen
alsoffenerklärt werden.
Es sei ein kommutativer Ring.Eine Teilmengeheißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
- ,
- Wenn,dann ist auch,
gelten.
Es sei einkommutativer Ringundeinmultiplikatives System.Auf derProduktmenge nennt man die durch
falls es einmitgibt, die durch das multiplikative System gegebeneÜberkreuzrelation.
Es sei einkommutativer Ringundeinmultiplikatives System.Dann versteht man unter derNenneraufnahme zu dieQuotientenmengezurÜberkreuzrelationauf mit den inLemma 4.8beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit bezeichnet.
Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Einkommutativer Ring heißt lokal, wenn genau einmaximales Idealbesitzt.
Zu einem kommutativenlokalen Ring nennt man den Restklassenkörper zum einzigenmaximalen Ideal von denRestekörper von .
Es sei einkommutativer Ringund sei einPrimideal.Dann nennt man dieNenneraufnahmeandie Lokalisierung von an . Man schreibt dafür . Es ist also
Zu einemRinghomomorphismuszwischenkommutativen Ringenund einem Primidealnennt man denFaserring über .
Seien und kommutative Ringeund sei ein fixierter Ringhomomorphismus.Dann nennt man eine -Algebra.
Es sei ein Körperundein Unterkörpervon . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper)von und die Inklusionheißt eine Körpererweiterung.
EineKörpererweiterungheißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraumüber ist.
Es seieine endliche Körpererweiterung.Dann nennt man die-Vektorraumdimensionvon den Grad der Körpererweiterung.
Es sei ein Körperund eine kommutative-Algebra.Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynommit gibt.
Es sei ein Körperund eine-Algebra.Es seiein über algebraisches Element.Dann heißt das normierte Polynom mit,welches von minimalem Gradmit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .
Es seieine Körpererweiterung. Dann nennt man dieAutomorphismengruppe
die Galoisgruppe der Körpererweiterung.
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn
gilt.
Es sei einkommutativer Ring,der einen Körperder positivenCharakteristikenthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus
Es seien und kommutative Ringeund sei eine Ringerweiterung. Für ein Elementheißt eine Gleichung der Form
wobei die Koeffizienten , zu gehören, eine Ganzheitsgleichung für .
Es seien und kommutative Ringeundeine Ringerweiterung. Ein Elementheißt ganz(über ),wenn eine Ganzheitsgleichungmit Koeffizienten aus erfüllt.
Es seien und kommutative Ringeundeine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente,die ganzüber sind, den ganzen Abschluss von in .
Es seien und kommutative Ringeund seieine Ringerweiterung. Dann heißt ganz über , wenn jedes Elementganzüber ist.
Es seien und kommutative Ringeund eine Ringerweiterung.Man nennt ganz-abgeschlossen in , wenn der ganze Abschlussvon in gleich ist.
Ein Integritätsbereichheißt normal, wenn er ganz-abgeschlossenin seinem Quotientenkörperist.
Es sei einIntegritätsbereichund seinQuotientenkörper.Dann nennt man denganzen Abschlussvon in die Normalisierung von .
Es seieineendliche Körpererweiterung.Dann nennt man den ganzen Abschlussvon in den Ring der ganzen Zahlen in . Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.
Es sei einkommutativer Ringund sei eine kommutativeendlichefreie-Algebra.Zu einem Elementnennt man die Spurdes-Modulhomomorphismus
die Spur von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei einkommutativer Ringund sei eine kommutativeendlichefreie-Algebra.Zu einem Elementnennt man die Determinantedes-Modulhomomorphismus
die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.
Es seieineendliche KörpererweiterungvomGrad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch
definiert.
Es sei der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung.Dann nennt man die Diskriminanteeiner Ganzheitsbasisvon die Diskriminante von (und die Diskriminante von ).
Es sei einZahlbereichvomGrad und
die komplexe Gesamteinbettung.Es sei eineGanzheitsbasisvon . Dann nennt man die komplexe-Matrix
diekomplexe Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).
Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlenin einemErweiterungskörpervon vom Grad.
Es seiquadratfreiund sei der zugehörige quadratische Zahlbereich.Dann heißt reell-quadratisch, wenn positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn negativ ist.
Es seieine quadratfreieZahl und sei die zugehörige quadratische Körpererweiterungund der zugehörige quadratische Zahlbereich.Dann wird der Automorphismus(auf , auf und auf )
als Konjugation bezeichnet.
Einkommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Idealdarin endlich erzeugtist.
Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn ernoetherschundnormalist und wenn jedes von verschiedene Primidealdarin maximalist.
Zu einemIdealin einemZahlbereich heißt die(endliche)Anzahl des Restklassenringes die Norm von . Sie wird mit
bezeichnet.
Ein diskreter Bewertungsring ist einHauptidealbereichmit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheitgenau einPrimelementin gibt.
Zu einem Element , in einemdiskreten BewertungsringmitPrimelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft,wobei eineEinheitbezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Dedekindbereich,ein Primidealin und,.Dann heißt die Ordnung im diskreten Bewertungsring die Ordnung von am Primideal (oder an der Primstelle oder in ).Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Dedekindbereichund, .Dann heißt die Abbildung, die jedem Primidealin die Ordnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor. Er wird mit bezeichnet und als formale Summe
geschrieben.
Es sei ein Dedekindbereich.Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe
die sich über alle Primidealeaus erstreckt und wobei natürliche Zahlen sind mit für fast alle .
Es sei ein Dedekindbereichundein von verschiedenes Idealin . Dann nennt man den Divisor
mit
den Divisor zum Ideal .
Es sei ein Dedekindbereichund
ein effektiver Divisor(wobei durch die Menge der Primideale läuft).Dann nennt man
das Ideal zum Divisor . Es wird mit bezeichnet.
Es seien kommutative Ringe.Dann heißt das Produkt
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der, .
Ein Element eineskommutativen Ringesheißt idempotent, wenngilt.
Es sei ein Dedekindbereich.Ein Divisor ist eine formale Summe
die sich über alle Primidealeaus erstreckt und wobei ganze Zahlen mitfür fast alle sind.
Es sei ein Dedekindbereichund , .Dann heißt die Abbildung, die jedem Primidealin dieOrdnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor. Er wird mit bezeichnet und als formale Summe
geschrieben.
Es sei ein Dedekindbereichmit Quotientenkörper. Dann nennt man einen endlich erzeugten-Untermodul des-Moduls ein gebrochenes Ideal.
Es sei ein Dedekindbereichmit Quotientenkörper. Dann nennt man ein gebrochenes Idealder Formmitein gebrochenes Hauptideal.
Es sei ein Dedekindbereichmit Quotientenkörper. Dann definiert man fürgebrochene Ideale und das Produkt als den von allen Produkten erzeugten -Untermodul von , also
wobei die Produkte in zu nehmen sind.
Es sei ein Dedekindbereich und
ein Divisor(wobei durch die Menge der Primideale läuft).Dann nennt man
das gebrochene Ideal zum Divisor . Es wird mit bezeichnet.
Es sei einDedekindbereichund ein von verschiedenesgebrochenes Ideal.Dann nennt man denDivisor
mit
den Divisor zum gebrochenen Ideal .
Es sei ein Dedekindbereich.Es sei die Gruppe derDivisorenundsei die Untergruppe derHauptdivisoren.Dann nennt man die Restklassengruppe
die Divisorenklassengruppe von .
Eine-Algebra über einemkommutativen Ring heißtmonogen, wenn sie alsmit einem Idealgeschrieben werden kann.
Der -te Kreisteilungskörper ist derZerfällungskörperdes Polynoms
über .
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.
Es seiund seien dieprimitivenkomplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
das -te Kreisteilungspolynom.
Es sei.Der Ring der ganzen Zahlenim -ten Kreisteilungskörperheißt -terKreisteilungsring.
Zu einem injektivenRinghomomorphismuszwischendiskreten Bewertungsringennennt man dieOrdnungeinerOrtsuniformisierendenvon in dieVerzweigungsindexder Erweiterung.
Ein injektiverRinghomomorphismuszwischendiskreten Bewertungsringenheißtverzweigt, wenn seineVerzweigungsordnung ist.
Es sei einkommutativer Ringund eine kommutative-Algebra.Der von allen Symbolen, ,erzeugte-Modul,modulo den Identifizierungen
und
heißt Modul der Kähler-Differentiale von über . Er wird mit
bezeichnet.
Es seieineendliche Erweiterungvon kommutativen Ringen, sei einPrimidealvon und ein Primideal von über . Dann nennt man den Gradder Erweiterung derRestekörperdenTrägheitsgrad von über .
Es sei einDedekindbereichmitQuotientenkörper, eine Körpererweiterungvom Grad und derganze Abschlussvon in . Ein von verschiedenesPrimideal von heißtvoll zerlegtin , wenn es Primideale in oberhalb von gibt.
Es sei einDedekindbereichmitQuotientenkörper, eine Körpererweiterungvom Grad und derganze Abschlussvon in . Ein von verschiedenesPrimideal von heißtunzerlegtin , wenn es genau ein Primideal in oberhalb von gibt.
Es sei eine Gruppe,die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert(von rechts).Dann bezeichnet man
als den Invariantenring(oderFixring)von unter der Operation von .
Es sei eineDedekindbereichmitQuotientenkörperund seieineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe. Es sei derganze Abschlussvon in und sei einPrimidealvon . Dann nennt man
die Zerlegungsgruppe zu .
Es sei eineDedekindbereichmitQuotientenkörperund seieineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe. Es sei derganze Abschlussvon in und sei einPrimidealvon . Dann nennt man denFixkörperzurZerlegungsgruppe denZerlegungskörper zu . Er wird mit bezeichnet.
Es sei eineDedekindbereichmitQuotientenkörperund seieineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe. Es sei derganze Abschlussvon in und sei einPrimidealvon . Dann nennt man
die Trägheitsgruppe zu .
Es sei eineDedekindbereichmitQuotientenkörperund seieineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe. Es sei derganze Abschlussvon in und sei einPrimidealvon . Dann nennt man denFixkörperzurTrägheitsgruppe denTrägheitskörper zu . Er wird mit bezeichnet.
Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben (sprich „ nach “),durch
Es sei eine ungerade Primzahlund die erste primitivekomplexe Einheitswurzel.Dann nennt man
die (erste) quadratische Gaußsumme.
Es seien linear unabhängigeVektoren im . Dann heißt die Untergruppe ein Gitter im .
Eine Teilmengeheißt konvex, wenn mit je zwei Punktenauch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
ebenfalls zu gehört.
Zu einer Teilmengeheißt die kleinste konvexe Teilmenge, die umfasst, die konvexe Hülle von .
Zu einem durch linear unabhängigeVektoren gegebenenGitterbezeichnet man die konvexe Hülleder Vektoren mitals die Grundmasche(oder Fundamentalmasche)des Gitters.
Eine Teilmengeheißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punktauch der Punkt zu gehört.
Eintopologischer Raum heißt kompakt(oder überdeckungskompakt),wenn es zu jeder offenen Überdeckung
eine endliche Teilmengederart gibt, dass
ist.
Es sei einZahlbereichvomGrad mit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
die reelle Gesamteinbettung. Es sei eineGanzheitsbasisvon . Dann nennt man die reelle-Matrix
diereelle Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).
Es sei ein Zahlbereich.Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppevon die Klassenzahl von .
Eine Familie von Einheitenin einemZahlbereich heißt ein System vonFundamentaleinheiten, wenn man jede Einheit von in eindeutiger Weise als
mit einer Einheitswurzel und ganzzahligen Exponenten schreiben kann.
Es sei ein Zahlbereichmit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ein System vonFundamentaleinheiten.Dann nennt man den Betragder Determinanteder reellen-Matrix
wobeidielogarithmische Gesamtabbildungbezeichnet, den Regulator von . Er wird mit bezeichnet.