Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 9

Betrachte die Quadratrestgruppe

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},}$

wobei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{\times 2}}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${\displaystyle {}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}}$ einen Repräsentanten aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ gibt.

Für einen Körper ${\displaystyle {}K}$ bezeichnet ${\displaystyle {}K^{\times 2}\subseteq K^{\times }}$ die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe

${\displaystyle K^{\times }/K^{\times 2}.}$

1. ${\displaystyle {}K}$ ist ein endlicher Körper.
2. ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$.
3. ${\displaystyle {}K=\mathbb {C} }$.
4. ${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} }$.

Zeige, dass dieKonjugationauf ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]}$ einKörperautomorphismusund auf ${\displaystyle {}A_{D}}$ einRingautomorphismusist. Zeige, dass der Invariantenringgleich ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ bzw. gleich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich.Zeige, dass die ${\displaystyle {}1}$ Teil einer Ganzheitsbasis von ${\displaystyle {}R}$ ist.

Bestimme dieKonjugationfür ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ bzw. für ${\displaystyle {}\omega }$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Bestimme dieSpurfür ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ bzw. für ${\displaystyle {}\omega }$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Bestimme dieNormfür ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ bzw. für ${\displaystyle {}\omega }$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs ${\displaystyle {}A_{-7}}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

${\displaystyle {}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,}$

auf und berechne damit die Spur und die Norm von ${\displaystyle {}f}$.

Bestimme den(Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+{\frac {3}{2}}X-{\frac {5}{7}}\right)}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}D}$ und ${\displaystyle {}E}$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien ${\displaystyle {}A_{D}}$ und ${\displaystyle {}A_{E}}$ die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche.Zeige

${\displaystyle {}A_{D}\cap A_{E}=\mathbb {Z} \,.}$

Bestimme ein Element aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]}$, das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.

Es sei${\displaystyle {}D\neq 0,1}$quadratfrei.Bestimme dieRestklassengruppe${\displaystyle {}A_{D}/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine quadratfreie Zahlmit ${\displaystyle {}D=1\mod 4}$, und sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}}$gibt.

Es sei${\displaystyle {}D\neq 0,1}$eine quadratfreie Zahl,sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$und sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahmean ${\displaystyle {}2}$ ein Ringisomorphismus

${\displaystyle R_{2}\longrightarrow (A_{D})_{2}}$

vorliegt.

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche${\displaystyle {}A_{D}}$ mit negativem ${\displaystyle {}D}$ sämtliche Einheiten.

Für welchequadratfreien Zahlenmit

${\displaystyle {}D=1\mod 4\,}$

ist ${\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ eineEinheit?

Finde ein quadratfreies ${\displaystyle {}D}$ derart, dass die natürliche Inklusion

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}\,}$

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}'}$ in ${\displaystyle {}A_{D}}$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$ liegen. Was ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} }$?

Es sei${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahlund ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.Zeige, dass es für eine Primzahl${\displaystyle {}p}$ die folgenden drei Möglichkeiten:

1. ${\displaystyle {}p}$ ist prim in ${\displaystyle {}A_{D}}$.
2. Es gibt ein Primideal${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}A_{D}}$ derart, dass${\displaystyle {}(p)={\mathfrak {p}}^{2}}$ist.
3. Es gibt ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}A_{D}}$ derart, dass ${\displaystyle {}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}}$mit${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}}$ist.

Es sei${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahlund ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.Zeige, dass für eine ungeradePrimzahl${\displaystyle {}p}$, die kein Teiler von ${\displaystyle {}D}$ ist, folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}D}$ ist ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$.
2. Es gibt zweiPrimidealein ${\displaystyle {}A_{D}}$ oberhalb von ${\displaystyle {}(p)}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich.Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der Faserringüber ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ nichtreduziertist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich.Zeige, dass dieKonjugationzu jeder Primzahl ${\displaystyle {}p}$ einen${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Algebraisomorphismusdes Faserringes über ${\displaystyle {}p}$ in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von [[Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt|Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis/Aufgabe/Faktreferenznummer ]]bzw.[[Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt|Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Faktreferenznummer ]].

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahlund betrachte die quadratische Erweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$. Es sei ${\displaystyle {}p}$ ein Primfaktor von ${\displaystyle {}D}$ und es sei vorausgesetzt, dass weder ${\displaystyle {}p}$ noch ${\displaystyle {}-p}$ ein Quadratrest modulo ${\displaystyle {}D/p}$ ist. Dann ist ${\displaystyle {}p}$ irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$, aber nicht prim.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]}$.Bestimme diePrimidealein ${\displaystyle {}R}$, die über${\displaystyle {}p=29}$liegen und zeige, dass es sich um Hauptidealehandelt.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {15}}]}$. Bestimme die Primidealein ${\displaystyle {}R}$, die über${\displaystyle {}p=17}$liegen(man gebe Idealerzeuger an).Handelt es sich um Hauptideale?

Zeige, dass ${\displaystyle {}2}$ im Ring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }[{\sqrt {5}}]}$ irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in ${\displaystyle {}A_{5}}$ aus?

Es sei ${\displaystyle {}p}$ ein ungerade Primzahl.Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}p}$ ist die Summe von zwei Quadraten,${\displaystyle {}p=x^{2}+y^{2}}$mit${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {Z} }$.
2. ${\displaystyle {}p}$ ist die Normeines Elementes aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.
3. ${\displaystyle {}p}$ ist zerlegbar(nicht prim)in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.
4. ${\displaystyle {}-1}$ ist ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$.
5. Es ist${\displaystyle {}p=1\mod 4}$.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben${\displaystyle {}n=r^{2}m}$,wobei jeder Primfaktor von ${\displaystyle {}m}$ nur einfach vorkomme. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}n}$ genau dann die Summe von zwei Quadraten ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}m}$ nur ${\displaystyle {}2}$ und Primzahlen vorkommen, die modulo ${\displaystyle {}4}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$ haben.

Zeige, dass ${\displaystyle {}-3}$ genau dann ein Quadratrest modulo einerPrimzahl${\displaystyle {}p\neq 2}$ist, wenn${\displaystyle {}p=0,1\mod 3}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [\omega ]}$ der Ring der Eisenstein-Zahlenund ${\displaystyle {}p}$ eine ungeradePrimzahl.Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine Darstellung${\displaystyle {}p=x^{2}+xy+y^{2}}$mit${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {Z} }$.
2. ${\displaystyle {}p}$ ist die Normeines Elementes aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [\omega ]}$.
3. ${\displaystyle {}p}$ ist zerlegbar(nicht prim)in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [\omega ]}$.
4. ${\displaystyle {}-3}$ ist ein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$.
5. Es ist${\displaystyle {}p=0,1\mod 3}$.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ einequadratfreiepositive Zahl mit${\displaystyle {}D=3\mod 4}$.Zeige, dass der Zahlbereichzur Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {D}}]}$echt größer als ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} },{\sqrt {D}}]}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein noetherscher, kommutativer Ring.Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ noethersch ist.

Zeige: Ein kommutativer Ring${\displaystyle {}R}$ ist genau dannnoethersch,wenn es in ${\displaystyle {}R}$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset {\mathfrak {a}}_{3}\subset \ldots \,}$

gibt.

Zeige, dass das Produkt${\displaystyle {}R\times S}$ zu noetherschen Ringen${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$wieder noethersch ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper. Zeige, dass es in ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ keine obere Schranke für die Anzahl der Erzeuger von Idealen(in einem minimalen Erzeugendensystem)gibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einnoetherscherIntegritätsbereich.Zeige, dass sich jedes Element aus ${\displaystyle {}R}$ als ein Produkt vonirreduziblen Elementenschreiben lässt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund seien${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$Elemente, die das Einheitsidealerzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen ${\displaystyle {}R_{f_{i}}}$ für${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$ noetherschsind. Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}R}$ noethersch ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei

${\displaystyle K[X_{n},\,n\in \mathbb {N} ]}$

der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktionein Körper ist.

Zeige, dass einUnterring${\displaystyle {}R\subseteq S}$einesnoetherschen Ringesnicht noethersch sein muss.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einfaktorieller Zahlbereichund${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R}$die zugehörige Erweiterung. Zu einer Primzahl${\displaystyle {}p}$ sei

${\displaystyle {}p=q_{1}^{r_{1}}\cdots q_{k}^{r_{k}}\,}$

die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}p}$ in ${\displaystyle {}R}$ (die ${\displaystyle {}q_{i}}$ seien also paarweise nichtassoziiert).Zeige, dass die Primideale${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ von ${\displaystyle {}R}$ mit der Eigenschaft${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)}$genau die Primideale der Form${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(q_{i})}$sind.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Dedekindbereichund seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ verschiedene Primideale${\displaystyle {}\neq 0}$. Dann gibt es einen Ringisomorphismus

${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\times R/{\mathfrak {q}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Dedekindbereichund seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ zwei verschiedene Primideale.Dann ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}\,.}$

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich,wo jeder Restklassenring ${\displaystyle {}\neq 0}$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körperenthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.