Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 29



Aufgaben

Aufgabe

Es seieineendliche KörpererweiterungvomGrad und sei der zugehörige Zahlbereich.Zeige, dass für RangderEinheitengruppe die Abschätzungen

und

gelten.


Aufgabe *

  1. Zeige die Gleichheit
  2. Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?


Aufgabe

Wir betrachten auf den von verschiedenen reellen Zahlen die folgende Menge von vier Abbildungen.

  1. Zeige, dass einekommutativen Gruppeist. Was ist dieOrdnungder Abbildungen? Was ist der Isomorphietyp der Gruppe?
  2. Die Gruppe operiertin natürlicher Weise auf . Bestimme die Bahnenzu dieser Operation, wie viele Elemente besitzen die Bahnen? Gibt es Fixpunkte?
  3. Bestimme ein übersichtlichesRepräsentantensystemfür die Operation aus (2).


Aufgabe

Bestimme für denquadratischen Zahlbereich zudieFundamentaleinheit.


Aufgabe

Bestimme für denquadratischen Zahlbereich zudieFundamentaleinheit.


Aufgabe

Bestimme für denquadratischen Zahlbereich zudieFundamentaleinheit.


Aufgabe

Zeige, dass manLemma 29.3auch mit der zweiten Komponente formulieren kann. Zeige ferner, dass die erste Komponente nur in der Fundamentaleinheitminimal ist, während die zweite Komponente mehrfach minimal sein kann.


Aufgabe

Zeige, dass dieEinheitengruppevon isomorphzu ist.


Aufgabe

Es sei.Zeige, dass die Restklasse von in kein Quadrat ist, wohl aber im Quotientenkörper.


Aufgabe

Es sei die Fundamentaleinheitvon.Bestimme die multiplikativeOrdnungvon in für.


Aufgabe *

Beschreibe dielogarithmische Ableitung

fürmit Hilfe einerFundamentaleinheitvon . Was ist dieOrdnungdes Bildes einer Fundamentaleinheit?


Aufgabe *

Beschreibe dielogarithmische Ableitung

fürmit Hilfe einerFundamentaleinheitvon . Was ist dieOrdnungdes Bildes einer Fundamentaleinheit?


Aufgabe *

Zeige, dass im 15.Kreisteilungsringmit

das Element eine Einheitist.


Aufgabe *

  1. Bestimme für den 15.Kreisteilungskörpermit

    das Minimalpolynomfür.

  2. Es seider von erzeugte Unterring. Bestimme die Ringautomorphismenvon .
  3. Ist eineEinheitin ?
  4. Beschreibe die Einheitengruppe von .


Aufgabe *

Es sei

wobeiist.

  1. Zeige, dass das Element

    zu gehört.

  2. Schreibe als polynomialen Ausdruck in .
  3. Beschreibe als quadratische Erweiterung von .


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereichmit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ein System vonFundamentaleinheitenvon . Es sei das von im Untervektorraum erzeugte Gitter.Zeige, dass zwischen dem Regulatorund dem Volumen einer Grundmasche von der Zusammenhang

besteht.



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