Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 29
- Aufgaben
Aufgabe
Es seieineendliche KörpererweiterungvomGrad und sei der zugehörige Zahlbereich.Zeige, dass für RangderEinheitengruppe die Abschätzungen
und
gelten.
Aufgabe *
- Zeige die Gleichheit
- Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
- Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?
Aufgabe
Wir betrachten auf den von verschiedenen reellen Zahlen die folgende Menge von vier Abbildungen.
- Zeige, dass einekommutativen Gruppeist. Was ist dieOrdnungder Abbildungen? Was ist der Isomorphietyp der Gruppe?
- Die Gruppe operiertin natürlicher Weise auf . Bestimme die Bahnenzu dieser Operation, wie viele Elemente besitzen die Bahnen? Gibt es Fixpunkte?
- Bestimme ein übersichtlichesRepräsentantensystemfür die Operation aus (2).
Aufgabe
Bestimme für denquadratischen Zahlbereich zudieFundamentaleinheit.
Aufgabe
Bestimme für denquadratischen Zahlbereich zudieFundamentaleinheit.
Aufgabe
Bestimme für denquadratischen Zahlbereich zudieFundamentaleinheit.
Aufgabe
Zeige, dass manLemma 29.3auch mit der zweiten Komponente formulieren kann. Zeige ferner, dass die erste Komponente nur in der Fundamentaleinheitminimal ist, während die zweite Komponente mehrfach minimal sein kann.
Aufgabe
Zeige, dass dieEinheitengruppevon isomorphzu ist.
Aufgabe
Es sei.Zeige, dass die Restklasse von in kein Quadrat ist, wohl aber im Quotientenkörper.
Aufgabe
Es sei die Fundamentaleinheitvon.Bestimme die multiplikativeOrdnungvon in für.
Aufgabe *
Beschreibe dielogarithmische Ableitung
fürmit Hilfe einerFundamentaleinheitvon . Was ist dieOrdnungdes Bildes einer Fundamentaleinheit?
Aufgabe *
Beschreibe dielogarithmische Ableitung
fürmit Hilfe einerFundamentaleinheitvon . Was ist dieOrdnungdes Bildes einer Fundamentaleinheit?
Aufgabe *
Aufgabe *
- Bestimme für den 15.Kreisteilungskörpermit
das Minimalpolynomfür.
- Es seider von erzeugte Unterring. Bestimme die Ringautomorphismenvon .
- Ist eineEinheitin ?
- Beschreibe die Einheitengruppe von .
Aufgabe *
Es sei
wobeiist.
- Zeige, dass das Element
zu gehört.
- Schreibe als polynomialen Ausdruck in .
- Beschreibe als quadratische Erweiterung von .
Aufgabe *
Es sei ein Zahlbereichmit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen und es sei ein System vonFundamentaleinheitenvon . Es sei das von im Untervektorraum erzeugte Gitter.Zeige, dass zwischen dem Regulatorund dem Volumen einer Grundmasche von der Zusammenhang
besteht.
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