Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 22

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$, sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ einPrimidealvon ${\displaystyle {}R}$ mit der Faser${\displaystyle {}\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}}$. Zeige, dass es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,({\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k})}$

gibt, und dass dessen Kerngleich ${\displaystyle {}\bigcap _{j=1}^{k}G_{{\mathfrak {q}}_{j}}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Galoiserweiterungmit einer kommutativenGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ einPrimidealvon ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass dieZerlegungsgruppen${\displaystyle {}G_{\mathfrak {q}}}$ für alle Primideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ aus ${\displaystyle {}S}$ oberhalb von ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ übereinstimmen.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$, sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ einPrimidealvon ${\displaystyle {}R}$ mit der Faser${\displaystyle {}\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}}$. Zeige, dass derDivisor${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{k}{\mathfrak {q}}_{j}}$ unter der natürlichen Operationder Galoisgruppe auf derDivisorengruppeinvariantist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe vonRingautomorphismen und damit auf ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$ operiere. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}}$. Zeige, dass derStabilisator ${\displaystyle {}G_{\mathfrak {p}}}$ auf demlokalen Ring ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ und auf dem Restekörper ${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})}$ in natürlicher Weise operiert.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq M}$eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}T}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}M}$. Es sei${\displaystyle {}N\subseteq G}$ einNormalteilervon ${\displaystyle {}G}$ mit Restklassengruppe${\displaystyle {}H=G/N}$und es sei${\displaystyle {}S=T^{N}}$und${\displaystyle {}L=M^{N}}$der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem ${\displaystyle {}H}$ galoissch operiert mit Fixring ${\displaystyle {}R}$ bzw. Fixkörper ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}}$ einPrimidealvon ${\displaystyle {}T}$ über ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ in ${\displaystyle {}S}$. Zeige, dass zwischen denZerlegungsgruppenein natürlicher surjektiverGruppenhomomorphismus

${\displaystyle G_{\mathfrak {r}}\longrightarrow H_{\mathfrak {q}}}$

besteht, dessen Kerngleich ${\displaystyle {}N\cap G_{\mathfrak {r}}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Galoiserweiterung.Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$, ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ einPrimidealin ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}Z_{\mathfrak {q}}}$ der zugehörigeZerlegungskörper.Zeige, dass ${\displaystyle {}K\subseteq Z_{\mathfrak {q}}}$ galoisschist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Galoiserweiterung.Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$, ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ einPrimidealin ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}Z_{\mathfrak {q}}}$ der zugehörigeZerlegungskörper.Zeige, dass ${\displaystyle {}K\subseteq Z_{\mathfrak {q}}}$ galoisschist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$ und seien${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}'}$Primidealevon ${\displaystyle {}S}$ über ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$. Zeige, dass es ein natürliches kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\\\downarrow &&\downarrow &\\G_{{\mathfrak {q}}'}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}'){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

von Gruppenhomomorphismen gibt, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphismensind.

Bestimme für den Zahlbereich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ denZerlegungskörperund den Trägheitskörperfür die Primideale oberhalb von ${\displaystyle {}(2),(3),(5)}$.

Zeige, dass einekubische Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$im Allgemeinen nicht galoisschist, „obwohl“ die Körpererweiterungen${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})}$für jedes maximale Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ des zugehörigen Zahlbereiches ${\displaystyle {}S}$(mit${\displaystyle {}p\in {\mathfrak {q}}}$)galoissch ist. Man folgere, dass in diesem Fall die Gruppenhomomorphismen ausLemma 22.5nicht surjektiv sind.

Man gebe ein Beispiel für eineGaloiserweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$derart, dass nicht jeder Zwischenkörperder Erweiterung alsZerlegungskörpereinesPrimidealsdes zugehörigenZahlbereichsauftritt.

Wir betrachten die Galoiserweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {7}}]}$mit derGaloisgruppe

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,.}$

Bestimme die Zerlegungsgruppeund die Trägheitsgruppefür die Primideale im zugehörigenZahlbereichoberhalb von ${\displaystyle {}(7)}$.

Es sei${\displaystyle {}q\in \mathbb {Q} }$einerationale Zahl,die in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ keine dritte Wurzel besitzt, so dass${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)}$eine Körpererweiterungvom Grad ${\displaystyle {}3}$ ist. Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-q}$ in ${\displaystyle {}L}$ genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht galoisschist.

Wir betrachten die Galoiserweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta ,{\sqrt[{3}]{2}}]\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\zeta ={\frac {-1+{\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}{2}}}$die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man gebe Beispiele fürPrimzahlen${\displaystyle {}p\geq 5}$derart, dass darüber im zugehörigenZahlbereichzwei bzw. drei bzw. sechs Primidealeliegen.

Wir betrachten die Galoiserweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta ,{\sqrt[{3}]{2}}]\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\zeta ={\frac {-1+{\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}{2}}}$die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man gebe ein Beispiel für einePrimzahlderart, dass dieZerlegungsgruppenderPrimidealeim zugehörigenZahlbereichverschieden sind.

Bestimme für die reelle Quadratabbildung

${\displaystyle \mathbb {R} [Y]\longrightarrow \mathbb {R} [X],\,Y\longmapsto X^{2},}$

den Zerlegungskörperund den Trägheitskörperfür die Primideale${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$.

Es sei${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[X]}$ein nichtkonstantes Polynom mit der Eigenschaft, dass

${\displaystyle {\mathbb {C} }[Y]\longrightarrow {\mathbb {C} }[X],\,Y\longmapsto P,}$

eineGaloiserweiterung(im Funktionenkörper)ist. Zeige, dass dieZerlegungsgruppezu einem Primideal${\displaystyle {}(X-a)}$ bis auf endlich viele Ausnahmen trivial ist, und dass sie stets mit der Trägheitsgruppeübereinstimmt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq M}$eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}T}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}M}$. Es sei${\displaystyle {}N\subseteq G}$ einNormalteilervon ${\displaystyle {}G}$ mit Restklassengruppe${\displaystyle {}H=G/N}$und es sei${\displaystyle {}S=T^{N}}$und${\displaystyle {}L=M^{N}}$der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem ${\displaystyle {}H}$ galoissch operiert mit Fixring ${\displaystyle {}R}$. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {r}}}$ einPrimidealvon ${\displaystyle {}T}$ über ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ in ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{\mathfrak {r}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {r}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

vonGruppenhomomorphismenvorliegt, wobei die horizontalen Abbildungen vonLemma 22.5herrühren(alle Erweiterungen der Restekörper seienseparabel),die linke Abbildung vonAufgabe 22.5herrührt und die rechte vertikale Abbildung durch die Körperkette

${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {r}})\,}$

gegeben ist.

Bestimme für einenquadratischen Zahlbereich${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq R}$,für welche Primzahlen${\displaystyle {}p}$ dasArtinsymbol${\displaystyle {}{\left(p,Q(R)/\mathbb {Q} \right)}}$ die Identität oder die Konjugation ist.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$.Bestätige für die Primzahlen

${\displaystyle {}p=2,5,7,11,13,17\,,}$

dass in${\displaystyle {}R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$eine der Beziehung

${\displaystyle {}X^{p}={\begin{cases}X\\X^{2}-2\\-X^{2}-X+2\end{cases}}\,}$

gilt. Wie sieht es bei${\displaystyle {}p=3}$aus?

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$.Es sei${\displaystyle {}p\neq 3}$einePrimzahlund ${\displaystyle {}K}$ eine Restekörper von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$. Zeige, dass in ${\displaystyle {}K}$ eine der Beziehung

${\displaystyle {}X^{p}={\begin{cases}X\\X^{2}-2\\-X^{2}-X+2\end{cases}}\,}$

gilt. Wie sieht es bei${\displaystyle {}p=3}$aus?

Berechne die Potenzen ${\displaystyle {}X^{p}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-2\right)}}$ für diePrimzahlen

${\displaystyle {}p=2,3,\ldots \,.}$

Gibt es da irgendeine Regelmäßigkeit?

Es sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper ${\displaystyle {}L}$. Zeige, dass die Elemente

${\displaystyle \zeta +\zeta ^{8},\,\,\zeta ^{2}+\zeta ^{7}\,{\text{ und }}\,\zeta ^{4}+\zeta ^{5}}$

die Nullstellen des Polynoms ${\displaystyle {}X^{3}-3X+1}$ sind.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$eineGaloiserweiterungmit einer abelschenGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$ und es sei ${\displaystyle {}S}$ der zugehörige Zahlbereich.Es sei${\displaystyle {}N\subseteq G}$eine Untergruppe mit derRestklassengruppe${\displaystyle {}H=G/N}$und${\displaystyle {}R=S^{N}\subseteq K=L^{N}}$.Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ einunverzweigtesPrimidealvon ${\displaystyle {}S}$ oberhalb von ${\displaystyle {}(p)}$ und${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R}$.Zeige unter Verwendung des kommutativen Diagrammes

${\displaystyle {\begin{matrix}G_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {p}}){|}\mathbb {Z} /(p))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

ausAufgabe 22.18,dass dasArtinsymbol${\displaystyle {}{\left(p,L/\mathbb {Q} \right)}}$ auf das Artinsymbol ${\displaystyle {}{\left(p,K/\mathbb {Q} \right)}}$ abgebildet wird.