Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 21

Man gebe ein Beispiel für einenIntegritätsbereich ${\displaystyle {}R}$ und einerGruppenoperation einerendlichen Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}R}$ derart, dass nicht jeder Zwischenring${\displaystyle {}S}$, ${\displaystyle {}R^{G}\subseteq S\subseteq R}$, derInvariantenring zu einer Untergruppe von ${\displaystyle {}G}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K}$, ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine Galoiserweiterungvom Grad${\displaystyle {}n}$ und sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$. Interpretiereden Satz über die Galoiskorrespondenzfür die normalenZwischenringe zwischen${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$.Welche Gruppen wirken auf diesen Ringen und wie sehen die Invariantenringeaus?

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Galoiserweiterungmit einerGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$ und es sei${\displaystyle {}f\in S}$ ein Element derart, dass${\displaystyle {}f\sigma }$, ${\displaystyle {}\sigma \in G}$,eine${\displaystyle {}R}$-Basisvon ${\displaystyle {}S}$ ist. Es sei${\displaystyle {}H\subseteq G}$eineUntergruppemit den Nebenklassen

${\displaystyle H_{1}=H,H_{2},\ldots ,H_{k}.}$

Zeige, dass die Familie

${\displaystyle {}f_{j}=\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \,}$

zu${\displaystyle {}j=1,\ldots ,k}$eine ${\displaystyle {}R}$-Basis des Invariantenringes ${\displaystyle {}S^{H}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppe,die auf einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ als Gruppe vonRingautomorphismenoperiere.Zeige die folgende Aussagen.

1. Für die Einheitengilt

   ${\displaystyle {}{\left(R^{G}\right)}^{\times }=R^{G}\cap R^{\times }\,.}$

2. Wenn ${\displaystyle {}R}$ ein Körperist, so ist auch ${\displaystyle {}R^{G}}$ ein Körper.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring und ${\displaystyle {}G}$ eineGruppe,die auf ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismenoperiere. Zeige, dass die Operation genau danntrivial ist, wenn ${\displaystyle {}R^{G}=R}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}S}$ einkommutativer Ringmit ${\displaystyle {}2\neq 0}$ und ${\displaystyle {}a\in S}$. Zeige, dass die Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\cong \{1,-1\}}$ auf der quadratischen Erweiterung

${\displaystyle {}R:=S[X]/(X^{2}-a)\,}$

als Gruppe von${\displaystyle {}S}$-Algebrahomomorphismenoperiert, indem ${\displaystyle {}-1}$ durch ${\displaystyle {}X\mapsto -X}$ wirkt. Bestimme den Fixringzu dieser Operation.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineendliche Gruppe,die auf einemkommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe vonRingautomorphismenoperiere.Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}f\in R}$ sowohl${\displaystyle {}\sum _{\sigma \in G}f\sigma }$ als auch ${\displaystyle {}\prod _{\sigma \in G}f\sigma }$ zumFixring ${\displaystyle {}R^{G}}$ gehören.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring,auf dem eineendliche Gruppe${\displaystyle {}G}$ als Gruppe vonRingautomorphismenoperiere.Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu jedem ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ und jedem ${\displaystyle {}f\in R}$ ist der Ausdruck

   ${\displaystyle {}\psi _{k}(f)=\sum _{T\subseteq G,\,{\#\left(T\right)}=k}\prod _{\sigma \in T}f\sigma \,}$

   invariant.

2. Wenn ${\displaystyle {}R}$ einen Körperder Charakteristik${\displaystyle {}0}$ enthält, so erzeugen die${\displaystyle {}\psi _{k}(f)}$, ${\displaystyle {}f\in R}$ , ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$,den Invariantenring.
3. Teil (2) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereich,${\displaystyle {}Q(R)\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterungund ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$. Zeige, dass dieGaloisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ in natürlicher Weise auf derDivisorengruppe${\displaystyle {}\operatorname {Div} {\left(S\right)}}$ operiert.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereich,${\displaystyle {}Q(R)\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterungund ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$. Zeige, dass dieGaloisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ in natürlicher Weise auf derDivisorenklassengruppe${\displaystyle {}\operatorname {DKG} {\left(S\right)}}$ operiert.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper. Zeige, dass auf ${\displaystyle {}K[X,Y]/(XY)}$ eineGruppenoperation von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$ gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ vertauscht. Bestimme denFixring zu dieser Operation.

Es sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$.Betrachte auf dem rationalen Funktionenkörper${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X)}$ die Gruppe der${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Körperautomorphismen,die durch ${\displaystyle {}X\mapsto \zeta _{n}X}$ erzeugt wird, wobei ${\displaystyle {}\zeta _{n}}$ eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme denFixkörper${\displaystyle {}{\mathbb {C} }(X)^{\mathbb {Z} /(n)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper derpositiven Charakteristik ${\displaystyle {}p}$. Wir betrachten die durch ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$ erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf ${\displaystyle {}K[X,Y]}$. Zeige, dass derInvariantenring gleich

${\displaystyle K[Y,X^{p}-XY^{p-1}]}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einunendlicher Körper.Wir betrachten auf dem Körper ${\displaystyle {}K(X,Y)}$ dieOperation von ${\displaystyle {}K^{\times }}$, wobei ${\displaystyle {}\lambda \in K^{\times }}$ durch ${\displaystyle {}X\mapsto \lambda X,\,Y\mapsto \lambda Y}$ auf ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ wirkt und diese Wirkung auf den Quotientenkörperfortgesetzt wird. Zeige, dass derFixringzu dieser Operation gleich ${\displaystyle {}K{\left({\frac {X}{Y}}\right)}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppe,die auf einem kommutativenlokalen Ringals Gruppe vonRingautomorphismenoperiere.Zeige, dass derFixring ${\displaystyle {}R^{G}}$ ebenfalls lokal ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring,auf dem eineGruppe ${\displaystyle {}G}$ als Gruppe vonRingautomorphismen operiere.Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal,das unter der Gruppenoperationinvariant ist(es gelte also ${\displaystyle {}f\sigma \in {\mathfrak {a}}}$ für ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ und jedes ${\displaystyle {}\sigma \in G}$).Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es gibt eine natürliche Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf demRestklassenring ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$.
2. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   ${\displaystyle \psi \colon R^{G}/{\left({\mathfrak {a}}\cap R^{G}\right)}\longrightarrow {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}^{G}.}$

3. Die Abbildung ${\displaystyle {}\psi }$ aus Teil (2) ist injektiv.
4. Wenn ${\displaystyle {}G}$ endlich ist und ${\displaystyle {}R}$ einen Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ enthält, so ist ${\displaystyle {}\psi }$ surjektiv.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineendliche Gruppe,die auf einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ als Gruppe vonRingautomorphismenoperieremit demInvariantenring${\displaystyle {}S=R^{G}}$.Es sei${\displaystyle {}T\subseteq S}$ein multiplikatives System.Zeige, dass es eine natürliche Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}R_{T}}$ gibt, und dass der zugehörige Invariantenring gleich ${\displaystyle {}S_{T}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineendliche Gruppe,die auf einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ als Gruppe vonRingautomorphismenoperieremit demInvariantenring${\displaystyle {}S=R^{G}}$.Es sei${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}}$ein Primideal.Zeige, dass es eine natürliche Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf demFaserring${\displaystyle {}{\left(R/{\mathfrak {p}}R\right)}_{S\setminus {\mathfrak {p}}}}$ gibt. Zeige, dass der zugehörige Invariantenring den Restekörper${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})}$ enthält. Zeige durch ein Beispiel, dass dabei der Restekörper echt kleiner sein kann.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppe,die auf einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ als Gruppe vonRingautomorphismenoperieremit demInvariantenring${\displaystyle {}S=R^{G}}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ in natürlicher Weise auch auf demPolynomring${\displaystyle {}R[X]}$ operiert, und dass der zugehörige Invariantenring gleich ${\displaystyle {}S[X]}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineendliche Gruppe,die auf einemkommutativen Ring${\displaystyle {}R}$ als Gruppe vonRingautomorphismenoperiere.Es sei${\displaystyle {}f\in R}$.Zeige, dass das Polynom

${\displaystyle {}P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,}$

unter der natürlichen Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf demPolynomring${\displaystyle {}R[X]}$ invariantist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ eineDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K=Q(R)}$und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche GaloiserweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$. Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}L}$. Es sei${\displaystyle {}H\subseteq G}$ eineUntergruppemit demFixkörper${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$.Zeige, dass der Ganzheitsring ${\displaystyle {}T}$ von ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}M}$ gleich demInvariantenring${\displaystyle {}S^{H}}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}R\subseteq S}$eine Erweiterung vonkommutativen Ringen.Zeige, dass die Automorphismengruppe${\displaystyle {}\operatorname {Aut} _{R}\,(S)}$ in natürlicher Weise auf demModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{S{|}R}}$ ${\displaystyle {}R}$-linearoperiert.

Es sei ${\displaystyle {}K_{5}}$ der fünfte Kreisteilungskörperund ${\displaystyle {}R_{5}}$ der fünfte Kreisteilungsring.Bestimme die ${\displaystyle {}3\times 3}$-Matrizen,die die OperationderGaloisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )}$ auf demModul der Kähler-Differentialebezüglich der BasisausBeispiel 19.8beschreiben.

Es sei ${\displaystyle {}K_{7}}$ der fünfte Kreisteilungskörperund ${\displaystyle {}R_{7}}$ der fünfte Kreisteilungsring.Bestimme die ${\displaystyle {}5\times 5}$-Matrizen,die die OperationderGaloisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(K_{7}{|}\mathbb {Q} )}$ auf demModul der Kähler-Differentialebezüglich der BasisausBeispiel 19.8beschreiben.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eineGruppe und ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Es sei ${\displaystyle {}\operatorname {Perm} \,(M)}$ dieGruppe der Permutationenauf ${\displaystyle {}M}$. Zeige folgende Aussagen.

1. Wenn ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}M}$ operiert,so ist die Abbildung

   ${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto (x\mapsto gx),}$

   einGruppenhomomorphismus.

2. Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi (x),}$

   vorliegt, so wird durch

   ${\displaystyle G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto (\varphi (g))(x),}$

   eine Gruppenoperation von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}M}$ definiert.

Es sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.Betrachte die Gruppenoperationder ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln durch Multiplikation auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Bestimme die Bahnenund dieIsotropiegruppendieser Operation. Kann man die Quotientenabbildungdurch eine polynomiale Funktion realisieren?