Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 19

Bestimme ${\displaystyle {}\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }}$.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineseparableendliche Körpererweiterung.Zeige${\displaystyle {}\Omega _{L{|}K}=0}$.

Bestimme ${\displaystyle {}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund

${\displaystyle {}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{n}-f{\left(X_{1},\ldots ,X_{n-1}\right)}\right)}\,}$

mit einem Polynom${\displaystyle {}f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]}$(die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ${\displaystyle {}f}$).Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ${\displaystyle {}\Omega _{A{|}R}}$ ein freier${\displaystyle {}A}$-ModulvomRang${\displaystyle {}n-1}$ ist.

Zeige, dass zu${\displaystyle {}R=K[X,Y]/(XY)}$derModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{R{|}K}}$ im Nullpunkt nicht freiist.

Es sei ${\displaystyle {}A}$ einkommutativer Ringund${\displaystyle {}S\subseteq A}$einmultiplikatives System.Zeige

${\displaystyle {}\Omega _{A_{S}{|}A}=0\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}A}$ einkommutativer Ringund${\displaystyle {}S\subseteq A}$einmultiplikatives System.Es sei${\displaystyle {}A\subseteq B\subseteq A_{S}}$ein Zwischenring. Zeige

${\displaystyle {}\Omega _{B{|}A}=0\,.}$

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendlicheseparable Körpererweiterungund sei${\displaystyle {}K[X]\subseteq L[X]}$die zugehörige endliche Erweiterung der Polynomringein einer Variablen. Zeige${\displaystyle {}\Omega _{L[X]{|}K[X]}=0}$.

InterpretiereLemma 19.3für einen Grundkörper ${\displaystyle {}K}$ und einen${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle K[Y]\longrightarrow K[X],\,Y\longmapsto F(X),}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative${\displaystyle {}R}$-Algebra.Zeige, dass derKernderuniversellen Derivation

${\displaystyle A\longrightarrow \Omega _{R{|}A},\,f\longmapsto df,}$

eine${\displaystyle {}R}$-Unteralgebravon ${\displaystyle {}A}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund ${\displaystyle {}M}$ ein${\displaystyle {}R}$-Modul. Zu einem Element${\displaystyle {}x\in M}$heißt

${\displaystyle {}\operatorname {Ann} _{R}{\left(x\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0\right\}}\,}$

der Annullatorvon ${\displaystyle {}x}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund ${\displaystyle {}M}$ ein${\displaystyle {}R}$-Modul. Der Annullatorvon ${\displaystyle {}M}$ ist

${\displaystyle {}\operatorname {Ann} _{R}{\left(M\right)}={\left\{r\in R\mid rx=0{\text{ für alle }}x\in M\right\}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$einIdeal.Zeige, dass derAnnullatordes ${\displaystyle {}R}$-Moduls${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ gleich ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ring,${\displaystyle {}M}$ ein${\displaystyle {}R}$-Modulund${\displaystyle {}I\subseteq R}$einIdealmit${\displaystyle {}IM=0}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ in natürlicher Weise ein ${\displaystyle {}R/I}$-Modul ist.

Es sei${\displaystyle {}A=R[X]/{\mathfrak {a}}}$einemonogene${\displaystyle {}R}$-Algebraund es sei${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(dX\right)}}$derAnnullatorvon ${\displaystyle {}dX}$ im Modul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{A{|}R}}$. Zeige

${\displaystyle {}\Omega _{A{|}R}\cong A/{\mathfrak {b}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereich.Zeige, dass es eine natürliche Zahl${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$gibt, die denModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }}$ annulliert.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einquadratischer Zahlbereichmit demModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }}$. Zeige, dass derAnnullatorvon ${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }}$ von einem Element erzeugt wird, und dass dieNormeines solchen Erzeugers im Betrag mit derDiskriminantedes Zahlbereiches übereinstimmt.

Es sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der quadratische Zahlbereichzur quadratfreien Zahl${\displaystyle {}D=2,3\mod 4}$.Zeige, dass die Elemente desModuls der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }}$ gleich

${\displaystyle (a+b{\sqrt {D}})d{\sqrt {D}},\,a=0,1,2,\ldots ,2D-1,\,b=0,1,}$

sind.

Es sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der quadratische Zahlbereichzur quadratfreien Zahl${\displaystyle {}D=1\mod 4}$.Zeige, dass die Elemente desModuls der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }}$(mit${\displaystyle {}A_{D}=\mathbb {Z} [y]/{\left(y^{2}-y-{\frac {D-1}{4}}\right)}}$gemäßSatz 9.8)gleich

${\displaystyle ady,\,a=0,1,2,\ldots ,\vert {D}\vert -1,}$

sind.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$eineendliche Körpererweiterungund${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq S\subseteq K}$eine Ringerweiterung mit${\displaystyle {}Q(S)=K}$und sei ${\displaystyle {}R}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}S}$ in ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die natürliche Abbildung

${\displaystyle \Omega _{S{|}\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,ds\otimes r\longmapsto rds,}$

surjektivist.

Es sei${\displaystyle {}D=1\mod 4}$eine quadratfreie Zahl ${\displaystyle {}\neq 1}$ und sei

${\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq R=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}]\,.}$

Zeige, dass in ${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }}$ die Beziehung

${\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}d{\sqrt {D}}=d{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\,}$

gilt.

Zeige anhand der Ringerweiterungen${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=S\subseteq \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]=R}$,dass inLemma 19.3die Abbildung

${\displaystyle \Omega _{S{|}\mathbb {Z} }\otimes _{S}R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,ds\otimes r\longmapsto rds,}$

nicht injektiv sein muss.

Wir betrachten denModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }}$ zum Ring der Gaußschen Zahlen.Zeige, dass es zu dem Kähler-Differential

${\displaystyle {}\omega ={\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }\,}$

kein Element${\displaystyle {}f\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$mit${\displaystyle {}df=\omega }$gibt.

Es sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der quadratische Zahlbereichzur quadratfreien Zahl${\displaystyle {}D=1\mod 4}$.Zeige, dass es zu jedemKähler-Differential${\displaystyle {}\omega \in \Omega _{A_{D}{|}\mathbb {Z} }}$ein${\displaystyle {}f\in A_{D}}$mit

${\displaystyle {}df=\omega \,}$

gibt.

Bestimme zumZahlbereich${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$denModul der Kähler-Differentialeund denVerzweigungsort.Bestimme ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungeradePrimzahlund

${\displaystyle {}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,}$

der ${\displaystyle {}p}$-teKreisteilungsring.Zeige, dass imModul der Kähler-Differentialedie Gleichheit

${\displaystyle {}X^{p-2}dX={\left(\sum _{k=0}^{p-3}(k+1)X^{k}\right)}dX\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungeradePrimzahl,

${\displaystyle {}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,}$

${\displaystyle {}R_{p}}$ der ${\displaystyle {}p}$-teKreisteilungsringmit demModul der Kähler-Differentiale(vergleiche Beispiel 19.8)

${\displaystyle {}\Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(X-1)^{p-2}dX\,.}$

Zeige, dass es zu jedem Kähler-Differential

${\displaystyle {}\omega ={\left(a_{p-3}X^{p-3}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}dX\,}$

mit${\displaystyle {}0\leq a_{j}<p}$ein${\displaystyle {}f\in R_{p}}$mit${\displaystyle {}df=\omega }$gibt.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]{\left(X^{n}-a\right)}}$eine reine Wurzelerweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$. Zeige, dass derModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }}$ durch ${\displaystyle {}an}$ annulliertwird.

Es sei ${\displaystyle {}R_{8}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}}$der achteKreisteilungsring.Zeige, dass derModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }}$ von ${\displaystyle {}4}$ annulliert wird, aber nicht von ${\displaystyle {}2}$. Beschreibe die Modulstruktur von${\displaystyle {}\Omega _{R_{8}{|}\mathbb {Z} }}$.

Beschreibe denModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei${\displaystyle {}R_{9}=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1\right)}}$den neuntenKreisteilungsringbezeichnet.

Beschreibe denModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{R_{9}{|}R_{3}}}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei ${\displaystyle {}R_{n}}$ den ${\displaystyle {}n}$-tenKreisteilungsringbezeichnet.

Studiere Lemma 19.3am Beispiel der Kreisteilungsringe${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R_{3}\subseteq R_{9}}$.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und${\displaystyle {}r\geq 1}$.Beschreibe denModul der Kähler-Differentiale${\displaystyle {}\Omega _{R_{p^{r}}{|}R_{p}}}$ und bestimme insbesondere seine Anzahl, wobei ${\displaystyle {}R_{n}}$ den ${\displaystyle {}n}$-tenKreisteilungsringbezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahlund ${\displaystyle {}R_{p}}$ der ${\displaystyle {}p}$-teKreisteilungsring.Bestimme den Kernderuniversellen Derivation

${\displaystyle d\colon R_{p}\longrightarrow \Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto df.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund sei${\displaystyle {}S\subseteq R}$derKernderuniversellen Derivation

${\displaystyle d\colon R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,f\longmapsto df.}$

Zeige, dass der Quotientenkörpervon ${\displaystyle {}S}$ gleich ${\displaystyle {}Q(R)}$ ist.

Es sei

${\displaystyle {}R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]\,}$

derquadratische Zahlbereichzu ${\displaystyle {}-15}$ und ${\displaystyle {}S}$ der Zahlbereich zu ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {-5}}]}$, der ${\displaystyle {}R}$ enthält. Zeige

${\displaystyle {}\Omega _{S{|}R}=0\,.}$