Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 18

EinKörper${\displaystyle {}K}$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom${\displaystyle {}P\in K[X]}$ separabelist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einvollkommener Körperund ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterung.Zeige, dass${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineseparable Körpererweiterungist.

Zeige, dass jederKörper derCharakteristik ${\displaystyle {}0}$ vollkommen ist.

Zeige, dass jederalgebraisch abgeschlossene Körpervollkommen ist.

Zeige, dass einendlicher Körpervollkommenist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperderCharakteristik${\displaystyle {}p}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}K}$ genau dannvollkommenist, wenn derFrobeniushomomorphismusauf ${\displaystyle {}K}$ surjektivist.

Zeige, dass der Körper ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}(X)}$ der rationalen Funktionen nichtvollkommenist.

Zeige mit Hilfe der Ableitung,dass der Zahlbereich

${\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,}$

für${\displaystyle {}p=2,5}$nichtverzweigtund für${\displaystyle {}p=3}$verzweigt ist.

Zeige mit Hilfe der Ableitung,dass der Zahlbereich

${\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)}\,}$

für${\displaystyle {}p=2}$nichtverzweigtund für${\displaystyle {}p=3,5}$verzweigt ist.

Sei${\displaystyle {}F=X^{3}+2X-1\in \mathbb {Z} [X]}$.

1. Zeige, dass${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ das Einheitsidealerzeugen. Man gebe explizit eine Darstellung der ${\displaystyle {}1}$ an.
2. Zeige, dass das von${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$erzeugte Ideal in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ eine minimale positive ganze Zahl ${\displaystyle {}n>0}$enthält.
3. Bestimme, für welchePrimzahlen${\displaystyle {}p}$ der Faserring${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}}$ reduziertist.
4. Bestimme für diejenigen Primzahlen ${\displaystyle {}p}$, für die der Faserring nicht reduziert ist, die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}X^{3}+2X-1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$.
5. Ist${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}}$einZahlbereich?

Es seien${\displaystyle {}R\subseteq S}$und${\displaystyle {}S\subseteq T}$endliche ErweiterungenvonDedekindbereichen.Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ einPrimidealvon ${\displaystyle {}R}$, das in ${\displaystyle {}S}$ verzweigt.Zeige, dass dann ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ auch in ${\displaystyle {}T}$ verzweigt.

Es seien${\displaystyle {}S\subseteq T}$ineinander enthalteneZahlbereiche.Zeige, dass ein Primteiler derDiskriminantevon ${\displaystyle {}S}$ auch ein Teiler der Diskriminante von ${\displaystyle {}T}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ der ${\displaystyle {}p}$-teKreisteilungsringzu einer ungeradenPrimzahl${\displaystyle {}p}$. Zeige unter Verwendung vonAufgabe 17.20,Aufgabe 18.11,Lemma 17.16undLemma 9.9,dass ${\displaystyle {}R}$ die Quadratwurzel aus ${\displaystyle {}(-1)^{(p-1)/2}p}$ enthält.