Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 12

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereichund sei${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$.Es sei${\displaystyle {}(f)={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}}$die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}f}$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{i}}$ Hauptideale sind.

Es sei${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$einIdealin einem Dedekindbereich.Zeige, dass es ein Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}\neq 0}$derart gibt, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ einHauptidealist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper.Wir betrachten in ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ die beiden Primideale

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(X)\subset (X,Y)={\mathfrak {m}}\,.}$

Zeige, dass es kein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ mit

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {m}}\,}$

gibt.

Es sei${\displaystyle {}R=R_{1}\times \cdots \times R_{n}}$einProduktaus kommutativen Ringen.Zeige, dass für dieEinheitengruppevon ${\displaystyle {}R}$ die Beziehung

${\displaystyle {}R^{\times }=R_{1}^{\times }\times \cdots \times R_{n}^{\times }\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}f\in R}$. Es sei ${\displaystyle {}f}$ sowohl nilpotentals auch idempotent.Zeige, dass ${\displaystyle {}f=0}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$ kommutative Ringe und sei ${\displaystyle {}R\times S}$ der Produktring${\displaystyle {}R\times S}$. Zeige, dass die Teilmenge ${\displaystyle {}R\times 0}$ ein Hauptidealist.

Es seien ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}I,J}$ Ideale in ${\displaystyle {}R}$. Es sei weiter

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r+I,r+J).}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann surjektiv ist, wenn ${\displaystyle {}I+J=R}$ gilt. Wie sieht ${\displaystyle {}\ker \varphi }$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} }$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund seien ${\displaystyle {}I,J\subseteq R}$Ideale.Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

${\displaystyle \varphi \colon R/I\cap J\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r,r),}$

und

${\displaystyle \psi \colon R/I\times R/J\longrightarrow R/I+J,\,(s,t)\longmapsto s-t.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ injektivist, dass ${\displaystyle {}\psi }$ surjektivist und dass

${\displaystyle {}\operatorname {bild} \varphi =\operatorname {kern} \psi \,}$

ist. Sind${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}\psi }$Ringhomomorphismen?

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund sei${\displaystyle {}e\in R}$einidempotentes Element.Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${\displaystyle {}R_{e}\cong R/(1-e)\,}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raummit einer disjunkten Zerlegung

${\displaystyle {}X=U\uplus V\,}$

ausoffenen Teilmengen${\displaystyle {}U,V\subseteq X}$.Zeige, dass die natürliche Abbildung

${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )\longrightarrow C(U,\mathbb {R} )\times C(V,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto (f\vert _{U},f\vert _{V}),}$

bijektivist.

Es seien ${\displaystyle {}R_{1}}$ und ${\displaystyle {}R_{2}}$ kommutative Ringemit demProduktring${\displaystyle {}R=R_{1}\times R_{2}}$.Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

${\displaystyle \operatorname {Spek} {\left(R_{1}\right)}\uplus \operatorname {Spek} {\left(R_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.}$

gibt.

Es seien ${\displaystyle {}R_{1},R_{2},\ldots ,R_{n}}$kommutative Ringeund sei

${\displaystyle {}R=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}\,}$

derProduktring.

1. Es seien

   ${\displaystyle I_{1}\subseteq R_{1},I_{2}\subseteq R_{2},\ldots ,I_{n}\subseteq R_{n}}$

   Ideale.Zeige, dass die Produktmenge

   ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

   ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ ist.

2. Zeige, dass jedes Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq R}$ die Form

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,}$

   mit Idealen ${\displaystyle {}I_{j}\subseteq R_{j}}$ besitzt.

3. Sei

   ${\displaystyle {}I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}\,}$

   ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}I}$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche ${\displaystyle {}I_{j}}$ Hauptideale sind.

4. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ genau dann einHauptidealringist, wenn alle ${\displaystyle {}R_{j}}$ Hauptidealringe sind.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einkommutativer Ringund sei${\displaystyle {}e\in R}$einidempotentes Element.Zeige, dass auch ${\displaystyle {}1-e}$ idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“Restklassenabbildung

${\displaystyle R\longrightarrow R/(e)\times R/(1-e)}$

eine Bijektion ist.

Einkommutativer Ring${\displaystyle {}R}$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zweiidempotente Elemente(nämlich ${\displaystyle 0\neq 1}$)enthält.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativerlokaler Ring.Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$zusammenhängendist.

Zeige, dass ein Integritätsbereicheinzusammenhängender Ringist.

(a) Bestimme für die Zahlen ${\displaystyle {}3}$, ${\displaystyle {}5}$ und ${\displaystyle {}7}$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)}$

die Restetupel${\displaystyle {}(1,0,0),\,(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,0,1)}$repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${\displaystyle {}x}$ der simultanen Kongruenzen

${\displaystyle x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.}$

(a) Bestimme für die Zahlen ${\displaystyle {}2}$, ${\displaystyle {}3}$ und ${\displaystyle {}7}$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(7)}$

die Restetupel${\displaystyle {}(1,0,0),\,(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,0,1)}$repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${\displaystyle {}x}$ der simultanen Kongruenzen

${\displaystyle x=1\!\!\mod 2,\,\,\,\,x=2\!\!\mod 3{\text{ und }}x=2\!\!\mod 7.}$

a) Finde die Zahlen ${\displaystyle {}z\in \{0,1,\ldots ,9\}}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates(in der Dezimaldarstellung)gleich ${\displaystyle {}z}$ ist.

b) Finde die Zahlen ${\displaystyle {}z\in \{0,1,\ldots ,99\}}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates(in der Dezimaldarstellung)gleich ${\displaystyle {}z}$ ist.

Finde in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-1)}$ nichttrivialeidempotente Elemente.

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein faktorieller Bereich und ${\displaystyle {}p\in R}$ ein Primelement. Zeige, dass derRestklassenring${\displaystyle {}R/(p^{n})}$ nur die beiden trivialenidempotenten Elemente${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es seien ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$ verschiedene Elemente und

${\displaystyle {}F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,}$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome.Zeige, dass derRestklassenring${\displaystyle {}K[X]/(F)}$isomorphzumProduktring${\displaystyle {}K^{n}}$ ist.

Das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-7X^{2}+3X-21}$ besitzt in ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$ die Zerlegung

${\displaystyle {}X^{3}-7X^{2}+3X-21=(X-7)(X^{2}+3)\,}$

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]/(X^{3}-7X^{2}+3X-21)\cong \mathbb {R} [X]/(X-7)\times \mathbb {R} [X]/(X^{2}+3)\,.}$

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${\displaystyle {}(1,0)}$ entspricht.

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element ${\displaystyle {}(0,1)}$ entspricht.

Schreibe den Restklassenring${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)}$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${\displaystyle {}X^{3}+X}$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Zeige, dass jeder echteRestklassenringvon ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$isomorphzu einem Produktringder Form

${\displaystyle {\mathbb {C} }\times \cdots \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{2})\times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{3})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})\times \cdots \times {\mathbb {C} }[X]/(X^{m})}$

ist.

Realisiere den Produktring

${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }}$

als einenRestklassenringvon ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$.

Zeige, dass die folgenden${\displaystyle {}K}$-Algebrenzueinanderisomorphsind.

1. Der Produktring${\displaystyle {}K\times K\times K}$.
2. Der Restklassenring ${\displaystyle {}K[X]/(X^{3}-X)}$.
3. Der Restklassenring ${\displaystyle {}K[X,Y]/(X,Y)\cdot (X-1,Y-1)\cdot (X,Y-7)}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]}$ die Primideale,die ${\displaystyle {}5-3{\sqrt {7}}}$ enthalten, sowie denHauptdivisorzu ${\displaystyle {}5-3{\sqrt {7}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichund${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$einIdeal.Zeige, dass ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ einHauptidealringist.

Zeige, dass jedesIdeal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ in einemDedekindbereich${\displaystyle {}R}$ von maximal zwei Elementenerzeugtwird.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich.Zeige, dass dieNormeinen Monoidhomomorphismus

${\displaystyle N\colon (\operatorname {Eff\,Div} {\left(R\right)},+)\longrightarrow (\mathbb {N} _{+},\cdot )}$

festlegt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereichund sei${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {N} }$die Menge aller NormenzuIdealen${\displaystyle {}\neq 0}$ in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}T}$ einmultiplikatives Systemist, das von gewissen Primzahlpotenzen ${\displaystyle {}p^{i}}$ erzeugt wird.

Zeige, dass es in einer endlichen integren Erweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R}$Primideale${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ derart geben kann, dass die Anzahl des Restklassenringes${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}^{r}}$ zu einer Primidealpotenz ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}^{r}}$ keine Potenz ist.