Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 11

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich.Zeige, dass der Ringhomomorphismus

${\displaystyle R\longrightarrow \prod _{p{\text{ Primzahl}}}R/pR,\,f\longmapsto (f\operatorname {mod} Rp)_{p{\text{ Primzahl}}},}$

wobei rechts das Produkt derFaserringeüber alle Primzahlen steht, und komponentenweise die Restklassenbildungdurchgeführt wird,injektivist.

Bestimme den Hauptdivisorzu ${\displaystyle {}840}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.

Bestimme den Hauptdivisorzu ${\displaystyle {}840}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.

Bestimme den Hauptdivisorzur Gaußschen Zahl ${\displaystyle {}5+7{\mathrm {i} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Dedekindbereichund sei${\displaystyle {}f\in R}$ als ein Produkt

${\displaystyle {}f=up_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{r}^{\nu _{r}}\,}$

mit Primelementen${\displaystyle {}p_{i}}$ und einer Einheit${\displaystyle {}u}$ gegeben. Zeige, dass dann für den zugehörigen Hauptdivisordie Gleichheit

${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\nu _{1}(p_{1})+\cdots +\nu _{r}(p_{r})\,}$

gilt, wobei die ${\displaystyle {}(p_{i})}$ die von ${\displaystyle {}p_{i}}$ erzeugten Primidealebezeichnen.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichund${\displaystyle {}S\subseteq R}$ein multiplikatives Systemmit${\displaystyle {}0\notin S}$.Zeige, dass einkommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}R\setminus \{0\}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {EffDiv} (R)&\\\downarrow &&\downarrow &\\R_{S}\setminus \{0\}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {EffDiv} (R_{S})&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

vorliegt, wobei die vertikale Abbildung rechts einfach diejenigen Komponenten ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ eineseffektiven Divisors${\displaystyle {}D}$ vergisst, die nicht zu ${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(R_{S}\right)}}$ gehören.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereichund ${\displaystyle {}f,g\in R}$, ${\displaystyle {}f,g\neq 0}$. Zeige ohne Verwendungdes Bijektionssatzes,dass die Hauptdivisoren${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(g\right)}}$ genau dann gleich sind, wenn ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$ assoziiertsind.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund seien${\displaystyle {}f,g\in R}$von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Elemente. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dann ein Teiler von ${\displaystyle {}g}$ ist, wenn für die Hauptdivisorendie Beziehung

${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}\leq \operatorname {div} {\left(g\right)}\,}$

gilt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereichund sei${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ${\displaystyle {}f}$ ist genau dannprim,wenn der zugehörige Hauptdivisor${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ die Gestalt ${\displaystyle {}1{\mathfrak {p}}}$ mit einem Primideal${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq 0}$besitzt.

Das Element ${\displaystyle {}f}$ ist genau dannirreduzibel,wenn ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ${\displaystyle {}\neq 0}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {-5}}}$ der quadratische Zahlbereichzu${\displaystyle {}D=-5}$.Betrachte in ${\displaystyle {}R}$ die Zerlegung

${\displaystyle {}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,.}$

Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel,aber nicht primsind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisorenzu diesen Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein noetherscherkommutativer Ring.Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}R}$ hat Krulldimension${\displaystyle {}0}$.
2. ${\displaystyle {}R}$ ist ein artinscher Ring.
3. ${\displaystyle {}R}$ besitzt endlich viele Primideale,die allemaximalsind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$für jedes maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$.
5. Die Reduktionvon ${\displaystyle {}R}$ ist ein Produkt von Körpern.

Beschreibe die nilpotenten Elementevon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ und die Reduktionvon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}n}$ ist die Potenz einer Primzahl.
2. Der Restklassenring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ ist zusammenhängend.
3. Der Restklassenring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ ist lokal.
4. Die Reduktion von ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ ist ein Körper.
5. Jeder Nullteiler von ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ ist nilpotent.
6. Der Restklassenring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ besitzt genau ein Primideal.
7. Der Restklassenring ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(n)}$ besitzt genau ein maximales Ideal.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichund${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$.Zeige, dass der Hauptdivisor${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}}$ mit demDivisorzumHauptideal${\displaystyle {}(f)}$ übereinstimmt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenesIdealmit einemErzeugendensystem${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$.Zeige

${\displaystyle {}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}\mid i=1,\ldots ,n\right\}}\,.}$

Zeige, dass unter der Korrespondenz(sieheSatz 11.13)zwischen Idealen ${\displaystyle {}\neq 0}$ und Divisoren in einemDedekindbereichdie Summevon Idealen dem Minimum von Divisoren entspricht.