Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 1

Zeige, dass ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$ eineirrationale Zahlist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl.Zeige unter Verwendung dereindeutigen Primfaktorzerlegungvon natürlichen Zahlen, dass diereelle Zahl${\displaystyle {}{\sqrt {p}}}$ irrationalist.

Zeige

${\displaystyle {}{\sqrt {10+{\sqrt {24}}+{\sqrt {40}}+{\sqrt {60}}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\,.}$

Bestimme dieEinheitenvon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und von ${\displaystyle {}K[X]}$, wobei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper sei.

Berechne

${\displaystyle {\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{2},{\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{3},{\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{4},....}$

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl, die modulo ${\displaystyle {}8}$ den Rest ${\displaystyle {}7}$ besitzt. Zeige, dass ${\displaystyle {}n}$ nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar ist.

Bestimme für jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\leq 30}$, ob sie sich als eine Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt.

Bestimme für jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\leq 10}$, auf wie viele verschiedene Arten sie sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, d.h. man bestimme die Anzahl der ${\displaystyle {}4}$-Tupel

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {Z} ^{4}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=n.}$

Zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ bezeichne ${\displaystyle {}r(n)}$ die Anzahl der Möglichkeiten, sie als Summe von vier Quadratzahlen darzustellen, d.h. ${\displaystyle {}r(n)}$ ist die Anzahl der ${\displaystyle {}4}$-Tupel

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {Z} ^{4}{\text{ mit }}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=n.}$

Es sei ${\displaystyle {}u}$ eine ungerade positive Zahl. Beweise die Beziehung

${\displaystyle r(2u)=3r(u).}$

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq \mathbb {R} }$ einUnterkörper.Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}K[{\mathrm {i} }]}$ ein Unterkörper von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ ist.

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${\displaystyle {}65}$ und deren Produkt ${\displaystyle {}1000}$ ist.

Zeige, dass die Untergruppe

${\displaystyle {}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \cdot {\sqrt {3}}\subseteq \mathbb {R} \,}$

dichtist.

Es sei ${\displaystyle {}H}$ eine (additive) Untergruppeder reellen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Zeige, dass entweder${\displaystyle {}H={\mathbb {Z} }a}$mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${\displaystyle {}a}$ ist, oder aber ${\displaystyle {}H}$dichtin ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ ist.

Skizziere ein Entscheidungsverfahren für die Frage, ob eine diophantische Gleichung in einer Variablen eine Lösung besitzt oder nicht.

Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung ${\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}}$ für die diophantische Gleichung

${\displaystyle {}x^{k}+1=y^{n}\,}$

für${\displaystyle {}k,n\geq 2}$.

Zeige, dass die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ bei${\displaystyle {}a,b\leq n}$nur die Lösungen${\displaystyle {}n=a=b}$besitzt.

Zeige, dass die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ auch Lösungen mit${\displaystyle {}a\neq b}$besitzt.

Zeige, dass die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ auch Lösungen${\displaystyle {}a\neq b}$besitzt.

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem${\displaystyle {}ab=c}$und${\displaystyle {}(a-1)d=c-1}$.

Es seien ${\displaystyle {}v\geq u\geq 0}$ natürliche Zahlen. Zeige, dass

${\displaystyle x=v^{2}-u^{2},\,y=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}}$

die Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,}$

erfüllen.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge der ${\displaystyle {}n}$-tenEinheitswurzeln in ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ eineUntergruppe der Einheitengruppe ${\displaystyle {}K^{\times }}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper, ${\displaystyle {}a\in K}$ und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${\displaystyle {}b_{1},b_{2}\in K}$ zwei Lösungen der Gleichung ${\displaystyle {}X^{n}=a}$ sind und ${\displaystyle {}b_{2}\neq 0}$, so ist ihr Quotient ${\displaystyle {}b_{1}/b_{2}}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel.
2. Wenn ${\displaystyle {}b\in K}$ eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle {}X^{n}=a}$ und ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ist, so ist auch ${\displaystyle {}\zeta b}$ eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle {}X^{n}=a}$.

Zeige: Umden Satz von Wilesfür alle Exponenten${\displaystyle {}n\geq 3}$zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.

Es sei

${\displaystyle {}x^{n}+y^{n}=z^{n}\,}$

eine Fermat-Gleichung. Zeige: wenn es keine nichttriviale Lösung ${\displaystyle {}(x,y,z)}$ in natürlichen Zahlen gibt, so gibt es auch keine nichttriviale Lösung in ganzen Zahlen.

Zeige unter Verwendungdes Satzes von Wiles,dass die diophantische Gleichung

${\displaystyle x^{n}+y^{n}+z^{n}=0}$

für ${\displaystyle {}n\geq 2}$ keine von ${\displaystyle {}(0,0,0)}$ verschiedene Lösung besitzt.

Zeige, dass in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(29)}$ die Gleichung

${\displaystyle {}x^{4}+y^{4}+z^{4}=0\,}$

nur die triviale Lösung ${\displaystyle {}(0,0,0)}$ besitzt.

Bestätige die folgenden Identitäten.

1. ${\displaystyle {}1+2^{3}=3^{2}\,.}$

2. ${\displaystyle {}2^{5}+7^{2}=3^{4}\,.}$

3. ${\displaystyle {}13^{2}+7^{3}=2^{9}\,.}$

Bestätige die Gleichung

${\displaystyle {}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.}$