Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesung 13
- Die offenen Mengen D(f)
Wir wollen zeigen, dass die Zariski-offenen Teilmengen selbst homöomorph zum -Spektrum einer endlich erzeugten -Algebra sind. Dazu benötigen wird den Begriff des multiplikativen Systems und der Nenneraufnahme.
Definition
Es sei ein kommutativer Ring.Eine Teilmengeheißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
- ,
- Wenn,dann ist auch,
gelten.
Beispiel
Es sei ein kommutativer Ringundein Element. Dann bilden die Potenzen, ,ein multiplikatives System.
Definition
Es sei ein Integritätsbereichund seiein multiplikatives System,.Dann nennt man den Unterring
die Nenneraufnahme zu .
Für die Nenneraufnahme an einem Element schreibt man einfach statt . Für den Begriff der Nenneraufnahme für beliebige kommutative Ringe, sieheAufgabe 13.2.
Satz
Es sei ein Körperund sei eine endlich erzeugte-Algebra,.
Dann ist die Zariski-offeneMengein natürlicher Weise homöomorphzu .
Beweis
Wir betrachten die zum-AlgebrahomomorphismusgehörendeSpektrumsabbildung
die nachSatz 12.7stetig ist. Es ist,da ja in eine Einheitwird. Daher liegt das Bild von in .
Es sei irgendein Punkt, d.h. ist ein -Algebrahomomorphismusmit . Dann ist eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (sieheAufgabe 13.3)zu einem Homomorphismus von nach fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist als Abbildung nach surjektiv.
Zur Injektivität seien zwei -Algebrahomomorphismen
gegeben, deren Verknüpfungen mit
übereinstimmen. Wegen
und ebenso für ist dann aber .
Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von von, ,überdeckt werden. Dabei kann man annehmen, da eine Einheit in ist. Dann ist aber dieses gleich , wo letzteres die offene Menge in bezeichnet.
Bemerkung
Satz 13.4besagt insbesondere, dass eine offene Mengeselbst das-Spektrumeiner endlich erzeugten-Algebraist(nämlich von , das über von erzeugt wird),und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus
(sieheAufgabe 13.4)erhält man eine solche Realisierung. Es sei . Dann liefert der surjektiveRinghomomorphismus
eine (nachPräposition 12.8 (3))abgeschlossene Einbettungvon in . Ist die Gesamtinklusion
so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als
auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt.
Beispiel
Betrachten wir in Anschluss anBemerkung 13.5die offene Menge
Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist invertierbar, d.h. die rationale Funktion ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen(offenen)Inklusiondie abgeschlossene Inklusion
dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene)Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph(und die zugehörigen Ringe, nämlichund , sind isomorph).
- Zusammenhang und idempotente Elemente
Wir interessieren uns dafür, wie es sich auf den Koordinatenring auswirkt, wenn eine affin-algebraische Menge zusammenhängend ist, und wie sich gegebenenfalls die Zusammenhangskomponenten charakterisieren lassen. Wir beginnen mit einem Beispiel, das zeigt, dass über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper keine überzeugende Theorie zu erwarten ist.
Beispiel
Wir betrachten (wie inBeispiel 11.8) die beiden algebraischen Kurven
Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal
Es sei . Dann ist leer.
Die affin-algebraische Menge ist nicht zusammenhängend ( und sind die irreduziblen Komponenten und die Zusammenhangskomponenten).Der Koordinatenringvon ist
Man könnte erwarten, dass die Funktion auf , die auf konstant gleich und auf konstant gleich ist, sich im Koordinatenring wiederfindet. Dies ist aber nicht der Fall, und zwar liegt das daran, dass über den komplexen Zahlen zusammenhängend ist. Daher besitzt der komplexe Koordinatenring nur die trivialenidempotenten Elemente,und das überträgt sich auf den reellen Koordinatenring.
Definition
Ein Element eineskommutativen Ringesheißt idempotent, wenngilt.
Die Elemente und sind idempotent.
Definition
Es seien kommutative Ringe.Dann heißt das Produkt
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der, .
In einem Produktring gibt es viele idempotente Elemente, nämlich solche Elemente, deren Komponenten alle oder sind.
Definition
Einkommutativer Ring heißt zusammenhängend, wenn er genau zweiidempotente Elemente(nämlich )enthält.
Definition
Eintopologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ),die sowohl offenals auch abgeschlossensind.
Die leere Menge und der Gesamtraum sind stets zugleich offen und abgeschlossen. Solche Mengen nennt man auch randlos oder clopen. Der leere topologische Raum gilt nicht als zusammenhängend, da es in ihm nur eine zugleich offene und abgeschlossene Menge gibt.
Lemma
Es sei einKörper und seien und endlich erzeugte-Algebrenmit demProduktring.
Dann gibt es eine natürliche Homöomorphie
Dabei werden die Einbettungen von rechts nach links durch die Projektionen,, induziert.
Beweis
Die Projektionist ein-Algebrahomomorphismusund liefert daher (nachPräposition 12.8 (3)) eine stetige Abbildung
(und zwar eine abgeschlossene Einbettung)
Ebenso gibt es eine Abbildung auf . Diese zusammengenommen definieren eine stetige Abbildung
Es sei , alsosei ein -Algebrahomomorphismus. Seien und die zur Produktzerlegung gehörenden idempotenten Elemente. Wegen und wird genau eines dieser Elemente(sagen wir )unter auf abgebildet(das andere auf ).Dann wird aber auf geschickt und faktorisiert durch eine Projektion. Das beweist die Surjektivität.
Zur Injektivität seien in der disjunkten Vereinigung gegeben, . Wenn sie beide in einem der Teilstücke liegen, so bleiben sie unter der Abbildung verschieden, da auf den Teilstücken eine abgeschlossene Einbettung vorliegt. Wenn sie auf verschiedenen Teilstücken liegen, so faktorisieren sie durch die beiden verschiedenen Projektionen und für den einen Punkt ist und für den anderen Punkt . Sie sind also verschieden als Elemente in .
Eine Homöomorphie liegt vor, da sich die einzelnen abgeschlossenen Einbettungen zu einer abgeschlossenen Abbildung zusammensetzen.
Satz
Es sei einalgebraisch abgeschlossener Körperund sei einereduziertekommutative-Algebra von endlichem Typ.
Dann stiftet die Abbildung
eine Bijektion zwischen den idempotenten Elementenin und denjenigen Teilmengen aus , die sowohl offen also auch abgeschlossen sind.
Beweis
Zunächst ist offen und abgeschlossen. Dies folgt aus
und aus
D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Es seien zwei idempotente Elemente mit.Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte oder annehmen kann, haben sowohl als auch auf den Wert und außerhalb den Wert . Damit haben und überall den gleichen Wert und sindnach dem Identitätssatzfür Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Es sei nun sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal mit und .NachKorollar 11.5erzeugen und zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt und mit . Wegen ist nachAufgabe 13.1das Element nilpotentund wegen der Reduziertheit ist . Also ist
idempotent. Wegen , und ist.
Es folgt, dass über einem algebraisch abgeschlossenen Körper eine reduzierte-Algebra von endlichem Typ genau dann zusammenhängend ist, wenn das zugehörige zusammenhängend ist.
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